Questão 1 (3.0 pts) Calcule integralW f d V, onde f e W são dados por:
(b) f(x, y, z)=z, W : é a região interior às superfícies lz=14(x^2+y^2) x^2+y^2+z^2=5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de massa
integralWf,dV
onde f(x,y,z)=z e W é o sólido limitado abaixo pelo paraboloide
z=tfrac14(x^2+y^2)
e acima pela esfera
x^2+y^2+z^2=5
O conteúdo usado será a mudança para coordenadas cilíndricas (r,theta,z), com
x=rcostheta, y=rsintheta, dV=r,dz,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a esfera fica
r^2+z^2=5
e o paraboloide fica
z=tfracr^24
Para cada r fixo, z varia de
zmin=tfracr^24 até zmax=raiz5-r^2 é
O valor máximo de r ocorre quando os dois se cruzam, isto é,
tfracr^24=raiz5-r^2 Longrightarrow r=2
O ângulo theta vai de 0 a 2pi.

Passo 3

Escrevendo a integral em cilíndricas:
integralWz,dV = integraltheta=0^2pi integralr=0^2 integralz=tfracr^24^raiz5-r^2 z,(r,dz),dr,dtheta
Primeiro integramos em z:
integralz=tfracr^24^raiz5-r^2 z,r,dz = r[z^22]z=tfracr^24^z=raiz5-r^2 = r2l((5-r^2)-tfracr^416r)

Passo 4

Agora a integral fica
integral0^2pidtheta integral0^2 r2l(5-r^2-tfracr^416r),dr =2picdot12 integral0^2l(5r - r^3 - tfracr^516r),dr =piintegral0^2l(5r - r^3 - tfracr^516r),dr
Integramos em r:
integral0^25r,dr = tfrac5r^22|0^2=10, integral0^2r^3,dr = tfracr^44|0^2=4, integral0^2r^516,dr = 116tfracr^66|0^2 =6496=23
Somando:
10 - 4 - tfrac23 = 6 - tfrac23 = tfrac163
Multiplicando por pi tfrac16pi3.

Resposta

integralWz,dV = 16pi3

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