2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty (-1)^n cos nn^2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^ncos nn^2
O conteúdo é análise de convergência de séries numéricas e, como sugere o roteiro, vamos examinar primeiro o termo geral e em seguida a convergência absoluta usando comparação com uma p-série.

Passo 2

Verificamos o teste do termo geral:
an = (-1)^ncos nn^2, limntoinftyan =limntoinfty(-1)^ncos nn^2=0
Como o limite é zero, o critério do termo geral não descarta a convergência, mas também não garante.

Passo 3

Tentamos a convergência absoluta. Considere
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^infty|cos n|n^2
Como |cos n|<=1 para todo n, vale a desigualdade
|cos n|n^2<=1n^2
E sabemos que a p-série
sumn=1^infty1n^2
converge (pelo critério de p-série com p=2>1). Pelo critério da comparação,
sumn=1^infty|cos n|n^2
converge, ou seja, a série original converge absolutamente.

Passo 4

Uma série que converge absolutamente também converge (convergência absoluta implica convergência simples).

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

Exercícios relacionados