2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
Se ou a seqüência é divergente o critério do -ésimo termo deve ser usado para concluir que a série diverge;
Se a série é da forma ela é uma série geométrica, que converge para se e diverge se ;
Se a série é da forma ela é uma série de encaixe, que converge para , se convergir. Se divergir a série de encaixe também diverge;
Se a série é da forma ela é uma -série e será convergente apenas quando ;
Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
Teste a convergência das séries: sumn=1^infty (-1)^n cos nn^2
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^ncos nn^2
O conteúdo é análise de convergência de séries numéricas e, como sugere o roteiro, vamos examinar primeiro o termo geral e em seguida a convergência absoluta usando comparação com uma p-série.
Passo 2
Verificamos o teste do termo geral:
an = (-1)^ncos nn^2, limntoinftyan =limntoinfty(-1)^ncos nn^2=0
Como o limite é zero, o critério do termo geral não descarta a convergência, mas também não garante.
Passo 3
Tentamos a convergência absoluta. Considere
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^infty|cos n|n^2
Como |cos n|<=1 para todo n, vale a desigualdade
|cos n|n^2<=1n^2
E sabemos que a p-série
sumn=1^infty1n^2
converge (pelo critério de p-série com p=2>1). Pelo critério da comparação,
sumn=1^infty|cos n|n^2
converge, ou seja, a série original converge absolutamente.
Passo 4
Uma série que converge absolutamente também converge (convergência absoluta implica convergência simples).
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.