Questão 3 (3.0 pts.) Seja F=6 x y^3 i+9 x^2 y^2 j+(4 z+1) k
(a) Verifique que o campo F é conservativo. Justifique sua resposta;
(b) Determine um potencial para F;
(c) Calcule integralC F cdot d r sendo C a curva parametrizada por:
alpha:[0, pi] R^3, alpha(t)=(cos (t), sen(t), t)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y,z)=6xy^3,vec i + 9x^2y^2,vec j + (4z+1),vec k
e pede:
  • (a) mostrar que vec F é conservativo;
  • (b) encontrar um potencial f tal que nabla f=vec F;
  • (c) calcular integralCvec Fcdot dvec r em Ccolon alpha(t)=(cos t,sin t,t), tin[0,pi].
    O conteúdo usado é: condição de campo conservativo ( nablatimesvec F=0 em domínio simplesmente conexo), construção de potencial por integração e o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Verificamos o rotacional
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz 6xy^3 & 9x^2y^2 & 4z+1
Calculando as componentes:
(nablatimesvec F)x=partialy(4z+1)-partialz(9x^2y^2)=0-0=0,
(nablatimesvec F)y=partialz(6xy^3)-partialx(4z+1)=0-0=0,
(nablatimesvec F)z=partialx(9x^2y^2)-partialy(6xy^3)=18xy^2-18xy^2=0.
Como nablatimesvec F=0 em R^3, que é simplesmente conexo, concluímos que vec F é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y,z) com
partial fpartial x=6xy^3, partial fpartial y=9x^2y^2, partial fpartial z=4z+1
Integramos em x:
f(x,y,z)=integral 6xy^3,dx =3x^2y^3 +g(y,z)
Então
partial fpartial y =9x^2y^2 +partial gpartial y overset!=9x^2y^2 ;Longrightarrow;partial gpartial y=0 ;Longrightarrow;g=g(z)
Por fim,
partial fpartial z =g'(z)overset!=4z+1 ;Longrightarrow;g(z)=2z^2+z + C
Podemos escolher C=0. Logo
f(x,y,z)=3x^2y^3 +2z^2+z

Passo 4

Como vec F é conservativo,
integralCvec Fcdot dvec r =fl(alpha(pi)r)-fl(alpha(0)r)
Temos alpha(0)=(1,0,0) e alpha(pi)=(-1,0,pi). Então
f(1,0,0)=0, f(-1,0,pi)=3cdot(-1)^2cdot0^3+2pi^2+pi=2pi^2+pi
Logo
integralCvec Fcdot dvec r=2pi^2+pi

Resposta

(a) vec F é conservativo pois nablatimesvec F=0 em R^3.
(b) Um potencial é
f(x,y,z)=3x^2y^3+2z^2+z
(c)
integralCvec Fcdot dvec r=2pi^2+pi

Exercícios relacionados