Questão 3 (3.0 pts.) Seja
(a) Verifique que o campo é conservativo. Justifique sua resposta;
(b) Determine um potencial para ;
(c) Calcule sendo a curva parametrizada por:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
(a) mostrar que é conservativo;
(b) encontrar um potencial tal que ;
(c) calcular em , .
O conteúdo usado é: condição de campo conservativo ( em domínio simplesmente conexo), construção de potencial por integração e o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Verificamos o rotacional
Calculando as componentes: (nablatimesvec F)x=partialy(4z+1)-partialz(9x^2y^2)=0-0=0, (nablatimesvec F)y=partialz(6xy^3)-partialx(4z+1)=0-0=0, (nablatimesvec F)z=partialx(9x^2y^2)-partialy(6xy^3)=18xy^2-18xy^2=0.
Como nablatimesvec F=0 em R^3, que é simplesmente conexo, concluímos que vec F é conservativo.