8E - As placas de um capacitor esférico têm raios de 38,0 mm e 4,00 mm. (a) Calcular a capacitância. (b) Qual deve ser a área de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma separação entre as placas e capacitância idêntica?

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor esférico cujas placas são duas esferas concêntricas de raios a=4,00 mm e b=38,0 mm.
(a) Pede-se a capacitância desse arranjo, usando a teoria de capacitores esféricos.
(b) Depois, comparamos com um capacitor de placas paralelas que tenha a mesma separação d=b-a e queremos a área A para obter a mesma capacitância.

Passo 2

Antes de tudo, vamos converter para o SI:
a = 4,00 mm = 4,00times10^-3 m, b = 38,0 mm = 38,0times10^-3 m
A separação entre as placas é
d = b - a = (38,0 - 4,00)times10^-3 m = 34,0times10^-3 m

Passo 3

Para um capacitor esférico a capacitância é dada por
C = 4pi varepsilon0,ab,b - a,,
onde varepsilon0=8,85times10^-12,F/m. Calculando:
ab = (4,00times10^-3)(38,0times10^-3) = 1,52times10^-4,m^2,
b - a = 34,0times10^-3,m,
C = 4pi,(8,85times10^-12), 1,52times10^-434,0times10^-3 approx 4,97times10^-13,F

Passo 4

Para um capacitor de placas paralelas com separação d, vale
C = varepsilon0,Ad Longrightarrow A = C,dvarepsilon0
Substituindo Capprox4,97times10^-13,F e d=34,0times10^-3,m:
A = (4,97times10^-13)(34,0times10^-3)8,85times10^-12 approx 1,91times10^-3,m^2

Resposta

(a) Capprox4,97times10^-13,F
(b) Aapprox1,91times10^-3,m^2 (ou aproximadamente 19,1 cm^2).

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