4.8I Uma curva regular c no plano x z, de equação cartesiana z=f(x), a <= x <= b, gira em torno do eixo z descrevendo uma superfície S. Deduza a Fórmula de Pappus: A(S)=2 pi L h, onde L é o comprimento da curva c e h é a distância do centróide de c ao eixo de rotação.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma curva regular c no plano x z, dada por
c:; (x,0,f(x)), a<= x<= b,
e que ao girar essa curva em torno do eixo z obtemos uma superfície S. O objetivo é deduzir a fórmula de Pappus para a área de S:
A(S)=2pi,L,h,
onde L é o comprimento de c e h é a distância do centróide de c ao eixo de rotação. Para isso vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução e o conceito de centróide de curva.

Passo 2

Primeiro, calculamos o elemento de arco ds da curva c. Como
c(x)=(x,0,f(x)),
temos
ds=raizl(dxr)^2+l(df(x)r)^2 =raiz1+l(f'(x)r)^2;dx
O comprimento total da curva é
L=integrala^b ds =integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2;dx

Passo 3

Agora parametrizamos a superfície de revolução S por
Phi(x,theta) =l(xcostheta,;xsintheta,;f(x)r), xin[a,b],;thetain[0,2pi]
Calculamos os vetores parciais
Phix =l(costheta,;sintheta,;f'(x)r), Phitheta =l(-xsintheta,;xcostheta,;0r)
O produto vetorial em módulo é
llvertPhixtimesPhithetarrvert =xraiz1+l(f'(x)r)^2

Passo 4

A área da superfície é
A(S) =integral0^2pi!integrala^b llvertPhixtimesPhithetarrvert ;dx,dtheta =integral0^2pi!integrala^b xraiz1+l(f'(x)r)^2;dx,dtheta =2piintegrala^bx,ds

Passo 5

Por definição, a abscissa do centróide de c (distância média ao eixo z) é
bar x =1Lintegrala^bx,ds
Chamando essa distância de h, temos
integrala^bx,ds =L,h
Substituindo em A(S), obtemos a fórmula de Pappus:
A(S)=2piintegrala^bx,ds =2pi,L,h

Resposta

A(S)=2pi,L,h

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