4.8I Uma curva regular no plano , de equação cartesiana , gira em torno do eixo descrevendo uma superfície . Deduza a Fórmula de Pappus: , onde é o comprimento da curva e é a distância do centróide de ao eixo de rotação.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma curva regular no plano , dada por
e que ao girar essa curva em torno do eixo obtemos uma superfície . O objetivo é deduzir a fórmula de Pappus para a área de :
onde é o comprimento de e é a distância do centróide de ao eixo de rotação. Para isso vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução e o conceito de centróide de curva.
Passo 2
Primeiro, calculamos o elemento de arco da curva . Como
temos
O comprimento total da curva é
Passo 3
Agora parametrizamos a superfície de revolução por