Uma sequência é dita sequência de Cauchy se para cada , existe tal que se então .
(a) Mostre que se é convergente então é uma sequência de Cauchy.
(b) Mostre que se é uma sequência de Cauchy então é convergente.
Passo 1
O enunciado trata de sequências reais e da noção de sequência de Cauchy. Precisamos mostrar duas coisas:
Se converge em então ela é de Cauchy.
Se é de Cauchy em então ela converge.
O que usaremos é a definição de limite de sequência, a desigualdade triangular e o fato de que é completo (ou seja, toda sequência de Cauchy em converge).
Passo 2
Prova de (a): seja uma sequência convergente e seja
Dado , pela definição de limite existe tal que para todo temos
Prova de (b), parte 1: seja l(xnr) uma sequência de Cauchy em R. Primeiro, toda sequência de Cauchy é limitada. De fato, escolha varepsilon=1; existe N tal que para n,m>= N vale lvert xn-xmrvert<1. Em particular, para n>= N
logo os termos a partir de N ficam dentro de um intervalo finito, e há só finitos termos antes de N. Assim a sequência é limitada.
Passo 4
Prova de (b), parte 2: como l(xnr) é limitada, pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass existe uma subsequência l(xnkr) que converge a algum LinR. Agora mostramos que a sequência inteira converge a L. Dado varepsilon>0, seja N1 para a condição de Cauchy tal que se n,m>= N1 então lvert xn-xmrvert<varepsilon/2, e seja N2 tal que para todo k>= N2
l|xnk-Lr|<varepsilon2
Escolha k com nk>= N1 e k>= N2. Então para todo n>= N1