Uma sequência (xn)n subset R é dita sequência de Cauchy se para cada varepsilon>0, existe n0 in N tal que se n, m >= n0 então |xn-xm|<varepsilon.
(a) (0,2) Mostre que se (xn)n é convergente então (xn)n é uma sequência de Cauchy.
(b) (0,6) Mostre que se (xn)n é uma sequência de Cauchy então (xn)n é convergente.

Passo 1

O enunciado trata de sequências reais e da noção de sequência de Cauchy. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Se l(xnr) converge em R então ela é de Cauchy.
  2. Se l(xnr) é de Cauchy em R então ela converge.
    O que usaremos é a definição de limite de sequência, a desigualdade triangular e o fato de que R é completo (ou seja, toda sequência de Cauchy em R converge).

Passo 2

Prova de (a): seja l(xnr) uma sequência convergente e seja
limntoinftyxn=L
Dado varepsilon>0, pela definição de limite existe NinN tal que para todo n>= N temos
l|xn-Lr|<varepsilon2
Então, se n,m>= N, a desigualdade triangular dá
l|xn-xmr|<=l|xn-Lr|+l|xm-Lr|<varepsilon2+varepsilon2=varepsilon
Isso mostra que l(xnr) é de Cauchy.

Passo 3

Prova de (b), parte 1: seja l(xnr) uma sequência de Cauchy em R. Primeiro, toda sequência de Cauchy é limitada. De fato, escolha varepsilon=1; existe N tal que para n,m>= N vale lvert xn-xmrvert<1. Em particular, para n>= N
lvert xnrvert <= lvert xn-xNrvert + lvert xNrvert < 1 + lvert xNrvert,
logo os termos a partir de N ficam dentro de um intervalo finito, e há só finitos termos antes de N. Assim a sequência é limitada.

Passo 4

Prova de (b), parte 2: como l(xnr) é limitada, pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass existe uma subsequência l(xnkr) que converge a algum LinR. Agora mostramos que a sequência inteira converge a L. Dado varepsilon>0, seja N1 para a condição de Cauchy tal que se n,m>= N1 então lvert xn-xmrvert<varepsilon/2, e seja N2 tal que para todo k>= N2
l|xnk-Lr|<varepsilon2
Escolha k com nk>= N1 e k>= N2. Então para todo n>= N1
l|xn-Lr|<=l|xn-xnkr|+l|xnk-Lr|<varepsilon2+varepsilon2=varepsilon
Isso mostra limntoinftyxn=L. Assim toda sequência de Cauchy em R é convergente.

Resposta

(a) Qualquer sequência convergente em R satisfaz a definição de Cauchy.
(b) Em R (espaço completo) toda sequência de Cauchy converge.

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