Seja
(a) Mostre que é contínua em e descontínua em .
Sugestão: Verifique que se , então .
(b) A função é integrável em ? Justifique!

Passo 1

O enunciado define
f(x)= 1+1q,&se x=pqinQ (em forma irredutível), 1,&se xinRsetminusQ í
Precisamos mostrar que f é contínua em cada irracional e descontínua em cada racional, e depois decidir se f é (Riemann) integrável em [0,1]. Vamos usar a sugestão de que, se tfracpnqnto xnotinQ, então qntoinfty, e o critério de integrabilidade de Riemann para funções com conjunto de descontinuidade de medida zero.

Passo 2

Mostramos continuidade em xinRsetminusQ. Tome qualquer sequência (xn) com xnto x. Se, a partir de algum índice, xn for irracional, então f(xn)=1to f(x)=1. Se aparecerem racionais xn=tfracpnqn, pela sugestão sabemos que qntoinfty. Então
f(xn)=1+1qn;longrightarrow;1+0=1=f(x)
Logo toda sequência xnto x satisfaz f(xn)to f(x), e f é contínua em x.

Passo 3

Mostramos descontinuidade em x=tfracpqinQ. Considere uma sequência de irracionais ynto x. Para todo n, f(yn)=1, então limntoinftyf(yn)=1. Mas f(x)=1+tfrac1q>1. Como os limites não coincidem, f não é contínua em x.

Passo 4

Agora a integrabilidade em [0,1]. Note que f é limitada, pois
1<= f(x)<= 1+11=2
O conjunto de pontos onde f é descontínua é Qcap[0,1], que é numerável e portanto de medida zero. Pelo critério de Riemann, qualquer função limitada cuja descontinuidade está em um conjunto de medida zero é Riemann-integrável. Assim f é integrável em [0,1]. Além disso, como nos irracionais f=1 quase em todo lugar, o valor da integral é
integral0^1f(x),dx=1

Resposta

(a) f é contínua em RsetminusQ e descontínua em Q.
(b) Sim, f é Riemann-integrável em [0,1], e integral0^1f(x),dx=1.

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