Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
Seja f(x, y)=k(x^2+y^2)-2 x y, onde k é uma constante.
(a) Verifique que, para todo k in R, o par (0,0) é um ponto crítico de f.
(b) Para cada valor de k, classifique o ponto crítico (0,0) com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de k para os quais podemos afirmar que ( 0,0 ) é extremo global (absoluto) de f ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=kl(x^2+y^2r)-2xy,
onde kinR. Precisamos (a) verificar que (0,0) é ponto crítico para todo k e (b) usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar (0,0) como mínimo local, máximo local ou ponto de sela, além de discutir se há extremo global.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx = partial fpartial x = 2kx - 2y, fy = partial fpartial y = 2ky - 2x
Em (0,0) temos
fx(0,0)=2kcdot0-2cdot0=0, fy(0,0)=2kcdot0-2cdot0=0,
logo nabla f(0,0)=(0,0) e (0,0) é ponto crítico para qualquer k.

Passo 3

Para classificar, montamos a Hessiana de f, que é a matriz das segundas derivadas:
H = fxx & fxy fyx & fyy = 2k & -2 -2 & 2k
O discriminante é
D = det H = (2k)(2k)-(-2)^2 = 4k^2-4 = 4l(k^2-1r)
Além disso fxx=2k.

Passo 4

Aplicando o teste da segunda derivada em (0,0):
  • Se D>0 e fxx>0, então mínimo local. Aqui D>0iff |k|>1. Se k>1 então fxx=2k>0 e temos mínimo local estrito.
  • Se D>0 e fxx<0, então máximo local. Se k<-1 então fxx=2k<0 e temos máximo local estrito.
  • Se D<0, então ponto de sela. Isto ocorre quando |k|<1.
  • Se D=0 (caso k=pm1), o teste é inconclusivo. De fato:
    • Para k=1 f(x,y) = (x^2+y^2)-2xy = (x-y)^2>=0, com valor zero em toda a reta y=x. Logo (0,0) é mínimo não estrito (há infinitos mínimos).
    • Para k=-1 f(x,y) = -(x^2+y^2)-2xy = -(x-y)^2<=0, com valor máximo zero em y=x. Logo (0,0) é máximo não estrito.

Passo 5

Quadráticas definidas positivas (todos os autovalores positivos) ou negativas (todos negativos) geram extremos globais, pois fto+infty ou fto-infty quando |(x,y)|toinfty.
  • Se k>1, ambos os autovalores de H são positivos l(2(k-1)>0,;2(k+1)>0r), logo f é definida positiva e (0,0) é mínimo absoluto.
  • Se k<-1, ambos os autovalores são negativos, logo f é definida negativa e (0,0) é máximo absoluto.
  • Nos demais casos ( |k|<=1), f não é coerciva numa única direção, então não há extremo absoluto estrito em (0,0) (apenas mínimo ou máximo não estrito em k=pm1).

Resposta

Para o ponto crítico (0,0):
  • k>1: mínimo local estrito e também mínimo absoluto.
  • k<-1: máximo local estrito e também máximo absoluto.
  • |k|<1: ponto de sela.
  • k=1: mínimo local não estrito (reta de mínimos y=x), mínimo global mas não único.
  • k=-1: máximo local não estrito (reta de máximos y=x), máximo global mas não único.

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