Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
Seja , onde é uma constante.
(a) Verifique que, para todo , o par é um ponto crítico de .
(b) Para cada valor de , classifique o ponto crítico com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de para os quais podemos afirmar que ( 0,0 ) é extremo global (absoluto) de ?
Passo 1
O enunciado dá a função
onde . Precisamos (a) verificar que é ponto crítico para todo e (b) usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar como mínimo local, máximo local ou ponto de sela, além de discutir se há extremo global.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Em temos
logo e é ponto crítico para qualquer .
Passo 3
Para classificar, montamos a Hessiana de , que é a matriz das segundas derivadas:
O discriminante é
D = det H = (2k)(2k)-(-2)^2 = 4k^2-4 = 4l(k^2-1r)
Além disso fxx=2k.
Passo 4
Aplicando o teste da segunda derivada em (0,0):
Se D>0 e fxx>0, então mínimo local. Aqui D>0iff |k|>1. Se k>1 então fxx=2k>0 e temos mínimo local estrito.
Se D>0 e fxx<0, então máximo local. Se k<-1 então fxx=2k<0 e temos máximo local estrito.
Se D<0, então ponto de sela. Isto ocorre quando |k|<1.
Se D=0 (caso k=pm1), o teste é inconclusivo. De fato:
Para k=1 f(x,y) = (x^2+y^2)-2xy = (x-y)^2>=0, com valor zero em toda a reta y=x. Logo (0,0) é mínimo não estrito (há infinitos mínimos).
Para k=-1 f(x,y) = -(x^2+y^2)-2xy = -(x-y)^2<=0, com valor máximo zero em y=x. Logo (0,0) é máximo não estrito.
Passo 5
Quadráticas definidas positivas (todos os autovalores positivos) ou negativas (todos negativos) geram extremos globais, pois fto+infty ou fto-infty quando |(x,y)|toinfty.
Se k>1, ambos os autovalores de H são positivos l(2(k-1)>0,;2(k+1)>0r), logo f é definida positiva e (0,0) é mínimo absoluto.
Se k<-1, ambos os autovalores são negativos, logo f é definida negativa e (0,0) é máximo absoluto.
Nos demais casos (|k|<=1), f não é coerciva numa única direção, então não há extremo absoluto estrito em (0,0) (apenas mínimo ou máximo não estrito em k=pm1).
Resposta
Para o ponto crítico (0,0):
k>1: mínimo local estrito e também mínimo absoluto.
k<-1: máximo local estrito e também máximo absoluto.
|k|<1: ponto de sela.
k=1: mínimo local não estrito (reta de mínimos y=x), mínimo global mas não único.
k=-1: máximo local não estrito (reta de máximos y=x), máximo global mas não único.