4.8J Em coordenadas cilíndricas uma superfície é descrita pela equação D. Mostre que:

Passo 1

O enunciado dá uma superfície S em coordenadas cilíndricas por
z = G(r,theta), (r,theta)in D,
e pede a área A(S). Vamos usar a teoria de superfícies paramétricas: se
r(r,theta)=l(x(r,theta),y(r,theta),z(r,theta)r)
é uma parametrização de S, então
A(S)=integral duplaDl|rrtimesrthetar|,dr,dtheta
Aqui x=rcostheta, y=rsintheta, z=G(r,theta).

Passo 2

Escrevemos a parametrização e suas derivadas parciais:
r(r,theta)=lang<= rcostheta,;rsintheta,;G(r,theta)rang<=
Então
rr=llang<= costheta,;sintheta,;Grrrang<=,
rtheta=llang<= -rsintheta,;rcostheta,;Gthetarrang<=

Passo 3

Calculamos o produto vetorial em display para facilitar:
rrtimesrtheta = i & j & k costheta & sintheta & Gr -rsintheta & rcostheta & Gtheta =llang<= sintheta,Gtheta-rcostheta,Gr,; -,l(rsintheta,Gr+costheta,Gthetar),; r rrang<=
Agora a norma ao quadrado é
(sintheta,Gtheta-rcostheta,Gr)^2 +(-rsintheta,Gr-costheta,Gtheta)^2 +r^2 =r^2Gr^2+Gtheta^2+r^2
Logo
l|rrtimesrthetar| =raizr^2(1+Gr^2)+Gtheta^2 =rraiz1+Gr^2+1r^2,Gtheta^2

Passo 4

Substituindo no integral de área, obtém-se
A(S) =integral duplaDl|rrtimesrthetar|,dr,dtheta =integral duplaDrraiz1+Gr^2+1r^2,Gtheta^2;dr,dtheta

Resposta

A(S)=integral duplaD raiz1+Gr^2+1r^2Gtheta^2;r,dr,dtheta

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