Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=k ux x u(0, t)=0, u(L, t)=0 u(x, 0)=3 sen pi xL+2 sen 3 pi xL

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor
ut = k,uxx,
com condições de contorno u(0,t)=0, u(L,t)=0 e condição inicial
u(x,0)=3sinpi xL+2sin3pi xL
O conteúdo usado será separação de variáveis e expansão em série de senos (isto é, Fourier sine series).

Passo 2

Vamos assumir solução do tipo
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE:
X(x),T'(t)=k,X''(x),T(t)
Dividindo por k,X(x),T(t) obtemos
T'(t)k,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

Da parte espacial temos o problema de autovalor
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=0,;X(L)=0
As únicas soluções não-triviais surgem para
lambdan=l(tfracnpiLr)^2, Xn(x)=sinnpi xL, n=1,2,3,dots

Passo 4

Da parte temporal vem a ODE
Tn'(t)+k,lambdan,Tn(t)=0
cuja solução é
Tn(t)=Cn,e^-k,(npi/L)^2,t
Logo a solução geral (série de senos) é
u(x,t)=sumn=1^inftyBn,e^-k,(npi/L)^2,t,sinnpi xL

Passo 5

Impondo a condição inicial u(x,0)=sum Bnsinnpi xL=3sinpi xL+2sin3pi xL, concluímos que
B1=3, B3=2, Bn=0;para nneq1,3

Resposta

u(x,t) =3,e^-k,(pi/L)^2,t,sinpi xL +2,e^-k,(3pi/L)^2,t,sin3pi xL

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