4.8K Mostre que em coordenadas cilíndricas, a equação z=G(r), a <= r <= b, 0 <= theta <= 2 pi, representa uma superfície de revolução cuja área é:
A=2 pi integrala^b raiz1+Gr^2 r d r

Passo 1

O enunciado define uma superfície de revolução por z=G(r) para a<= r<= b e 0<=theta<=2pi. O conteúdo é área de superfície via parametrização em geometria diferencial e vamos precisar parametrizar a superfície em coordenadas cilíndricas e aplicar a fórmula de área que envolve o produto vetorial dos vetores tangentes.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
r(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;G(r)r),
com domínio D=[a,b]times[0,2pi].

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
rr=partialrpartial r=(costheta,;sintheta,;Gr(r)),
rtheta=partialrpartialtheta=(-rsintheta,;rcostheta,;0),
onde Gr(r)=dGdr.

Passo 4

O elemento de área é dado por dS=|rrtimesrtheta|,dr,dtheta. Calculando o produto vetorial e seu módulo, obtemos
|rrtimesrtheta| =rraiz1+l(Gr(r)r)^2

Passo 5

Portanto
dS=rraiz1+l(Gr(r)r)^2,dr,dtheta

Passo 6

Integramos sobre o domínio D:
A=integral0^2pi!integrala^brraiz1+l(Gr(r)r)^2,dr,dtheta =2piintegrala^brraiz1+l(Gr(r)r)^2,dr

Resposta

A=2piintegrala^brraiz1+Gr^2,dr

Exercícios relacionados