4.8M Calcule o momento de inércia da superfície homogênea
em torno do eixo indicado. Em cada caso admita que a densidade superficial de massa é
.
(b)
é a superfície do tetraedro com vértices
e
; Eixo
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma superfície homogênea
(densidade superficial
) que é a união das quatro faces do tetraedro com vértices
,
,
e
, em torno do eixo
. Para qualquer ponto
, a distância ao eixo
é
, então
Passo 2
Note que o tetraedro é simétrico sob permutações de
, logo os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são iguais:
Além disso vale a identidade de Steiner para superfícies:
Como
, temos
Passo 3
Vamos dividir
em quatro faces triangulares:
-
: triângulo em com vértices . -
: triângulo em com vértices . -
: triângulo em com vértices . -
: triângulo oblíquo em com vértices .
Logo
Passo 4
Para cada face nos planos coordenados (por exemplo
em
) a parametrização é natural em coordenadas cartesianas e
sobre o triângulo
.
Em :
Em
Pelas simetria, as três faces em
,
,
somam
Passo 5
Na face
temos a equação
. Parametrizamos por
em
. O fator de área é
E
Fazendo a integral dupla em
obtém-se
Passo 6
Somando todas as faces:
Logo, usando
, temos