4.8M Calcule o momento de inércia da superfície homogênea S em torno do eixo indicado. Em cada caso admita que a densidade superficial de massa é rho equiv 1.
(b) S é a superfície do tetraedro com vértices A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(0,0,0); Eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma superfície homogênea S (densidade superficial rhoequiv1) que é a união das quatro faces do tetraedro com vértices A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(0,0,0), em torno do eixo y. Para qualquer ponto (x,y,z)in S, a distância ao eixo y é raizx^2+z^2, então
Iy ;=;integral duplaS(x^2+z^2),dS

Passo 2

Note que o tetraedro é simétrico sob permutações de x,y,z, logo os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são iguais:
Ix = Iy = Iz
Além disso vale a identidade de Steiner para superfícies:
Ix + Iy + Iz ;=;2integral duplaS (x^2+y^2+z^2),dS
Como Ix=Iy=Iz, temos
3,Iy ;=;2integral duplaS (x^2+y^2+z^2),dS Longrightarrow Iy ;=;23integral duplaS (x^2+y^2+z^2),dS

Passo 3

Vamos dividir S em quatro faces triangulares:
  1. S1: triângulo em z=0 com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0).
  2. S2: triângulo em y=0 com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,0,1).
  3. S3: triângulo em x=0 com vértices (0,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
  4. S4: triângulo oblíquo em x+y+z=1 com vértices (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
    Logo
integral duplaS (x^2+y^2+z^2),dS =sumi=1^4 integral duplaSi(x^2+y^2+z^2),dS

Passo 4

Para cada face nos planos coordenados (por exemplo S1 em z=0) a parametrização é natural em coordenadas cartesianas e dS=dx,dy sobre o triângulo x>=0,y>=0,x+y<=1.
Em S1:
integral duplaS1(x^2+y^2+0),dS =integral0^1!integral0^1-x(x^2+y^2),dy,dx =16
Pelas simetria, as três faces em z=0, y=0, x=0 somam
3cdot16 ;=;12

Passo 5

Na face S4 temos a equação z=1-x-y. Parametrizamos por (x,y) em 0<= x<=1,;0<= y<=1-x. O fator de área é
dS = raiz1+(-1)^2+(-1)^2,dx,dy = raiz3,dx,dy
E
x^2+y^2+z^2 = x^2+y^2+(1-x-y)^2 =2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1
Fazendo a integral dupla em (x,y) obtém-se
integral duplaS4(x^2+y^2+z^2),dS =raiz3!integral0^1!integral0^1-xl(2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1r),dy,dx =raiz34

Passo 6

Somando todas as faces:
integral duplaS(x^2+y^2+z^2),dS =12 + raiz34
Logo, usando Iy=tfrac23integral duplaS(x^2+y^2+z^2),dS, temos
Iy =23l(12 + raiz34r) =2+ raiz36

Resposta

Iy = 2+raiz36

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