Sejam f(x, y)=3 x^2 y-2 x y^2 e (x0, y0) in R^2 tais que:
(I) nabla f(x0, y0) é tangente à curva x y^3-x^3 y-2 x y-y^3+6=0 no ponto (1,2);
(II) a derivada direcional de f no ponto (x0, y0) na direção do vetor w=(1 / raiz2, 1 / raiz2) é igual a 9 / raiz2.
Determine todos os pontos ( x0, y0 ) para os quais se tem simultaneamente as condições (I) e (II) acima satisfeitas.

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos (x0,y0) tais que simultaneamente:
(I) o vetor nabla f(x0,y0) seja paralelo à reta tangente à curva
h(x,y)= x y^3 - x^3y - 2 x y - y^3 + 6 = 0
no ponto (1,2);
(II) a derivada direcional de f em (x0,y0) segundo vec w=(1/raiz2,1/raiz2) seja 9/raiz2.
O conteúdo usado será cálculo de gradientes, condição de paralelismo de vetores e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos primeiro
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =(6xy-2y^2,;3x^2-4xy)

Passo 3

Na curva h(x,y)=0, o vetor normal é nabla h. Computamos
nabla h(x,y) =l(partial hpartial x,,partial hpartial yr) =l(y^3-3x^2y-2y,;3xy^2-x^3-2x-3y^2r)
Em (1,2) fica
nabla h(1,2)=(-2,,-3)
Logo a direção tangente à curva em (1,2) é qualquer vetor ortogonal a nabla h(1,2), por ex. (3,-2).

Passo 4

A condição de paralelismo nabla f(x0,y0)paral<=l(3,-2) equivale a existir lambda tal que
6x0y0-2y0^2=3lambda, 3x0^2-4x0y0=-2lambda
Eliminando lambda obtém-se
9x0^2-4y0^2=0 ;Longrightarrow; y0^2=94,x0^2 ;Longrightarrow; y0=pm32,x0

Passo 5

A derivada direcional na direção vec w é
Dvec wf(x0,y0) =nabla f(x0,y0)cdot vec w =1raiz2l[(6x0y0-2y0^2)+(3x0^2-4x0y0)r]
que deve ser 9/raiz2. Logo
(6x0y0-2y0^2)+(3x0^2-4x0y0)=9 ;Longrightarrow; 3x0^2+2x0y0-2y0^2=9

Passo 6

Substituindo y0=m x0 com m=pm3/2 em
3x0^2+2x0(m x0)-2(m x0)^2=9
fica
x0^2l[,3+2m-2m^2r]=9
Para m=3/2 o colchete vale 3/2, dando x0^2=6.
Para m=-3/2 o colchete é -9/2, levando a x0^2<0 (sem solução real).

Passo 7

Assim restam dois pontos reais, com m=3/2:
x0=pmraiz6, y0=pm32raiz6,
com o mesmo sinal em x0 e y0.

Resposta

(raiz6,tfrac32raiz6) e (-raiz6,-tfrac32raiz6)

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