Sejam
e
tais que:
(I)
é tangente à curva
no ponto
;
(II) a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é igual a
.
Determine todos os pontos (
) para os quais se tem simultaneamente as condições (I) e (II) acima satisfeitas.
(I)
(II) a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado pede todos os pontos
tais que simultaneamente:
(I) o vetor seja paralelo à reta tangente à curva
(I) o vetor
no ponto
;
(II) a derivada direcional de em
segundo
seja
.
O conteúdo usado será cálculo de gradientes, condição de paralelismo de vetores e derivada direcional.
(II) a derivada direcional de
O conteúdo usado será cálculo de gradientes, condição de paralelismo de vetores e derivada direcional.
Passo 2
Calculamos primeiro
Passo 3
Na curva
, o vetor normal é
. Computamos
Em
fica
Logo a direção tangente à curva em
é qualquer vetor ortogonal a
, por ex.
.
Passo 4
A condição de paralelismo
equivale a existir
tal que
Eliminando
obtém-se
Passo 5
A derivada direcional na direção
é
que deve ser
. Logo
Passo 6
Substituindo
com
em
fica
Para
o colchete vale
, dando
.
Para o colchete é
, levando a
(sem solução real).
Para
Passo 7
Assim restam dois pontos reais, com
:
com o mesmo sinal em
e
.