Em cada caso, verifique se a função f possui extremos globais no conjunto A indicado. Em caso afirmativo, calcule estes extremos.
f(x)=x^3-3 x^2, A=[-1 ; 3];

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^3-3x^2 e o conjunto fechado A=[-1,3]. O que se pede é verificar se há máximos e mínimos globais de f em A e, se existirem, calcular esses pontos. Vamos usar o fato de que, em intervalos fechados, os extremos globais ocorrem ou em pontos críticos ( f'(x)=0) ou nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddx(x^3-3x^2)=3x^2-6x=3x(x-2)
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, ou seja, x=0 e x=2.

Passo 3

Verificamos quais desses pontos pertencem a A=[-1,3]. Ambos 0 e 2 estão em A. Agora avaliamos f nesses pontos críticos e também nas extremidades x=-1 e x=3:
f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2=-1-3=-4,
f(0)=0^3-3cdot0^2=0,
f(2)=2^3-3cdot2^2=8-12=-4,
f(3)=3^3-3cdot3^2=27-27=0

Passo 4

Comparando os valores:
f(-1)=-4, f(2)=-4, f(0)=0, f(3)=0
O menor valor é -4, que ocorre em x=-1 e em x=2; o maior valor é 0, que ocorre em x=0 e em x=3.

Resposta

A função possui mínimo global f=-4 nos pontos x=-1 e x=2, e máximo global f=0 nos pontos x=0 e x=3.

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