O problema é a equação do calor em uma barra de comprimento pi com extremidades isoladas (condições de Neumann) e condição inicial dada por ut=k,uxx,;0<x<pi,;t>0;;;ux(0,t)=0,;ux(pi,t)=0;;;u(x,0)=2sin x
Vamos usar separação de variáveis: buscar soluções da forma u(x,t)=X(x),T(t) e depois montar a série de Fourier em cossenos para satisfazer a condição inicial.
Passo 2
Assumindo u(x,t)=X(x)T(t), obtemos
T'k,T ;=;X''X ;=;-,lambda,
onde lambda é o valor próprio. Assim
T'(t)+k,lambda,T(t)=0, X''(x)+lambda,X(x)=0
com as condições X'(0)=0 e X'(pi)=0.
Passo 3
O problema de valores próprios em X dá as soluções