Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=k ux x ux(0, t)=0, ux(pi, t)=0 u(x, 0)=2 sen x

Passo 1

O problema é a equação do calor em uma barra de comprimento pi com extremidades isoladas (condições de Neumann) e condição inicial dada por
ut=k,uxx,;0<x<pi,;t>0;;;ux(0,t)=0,;ux(pi,t)=0;;;u(x,0)=2sin x
Vamos usar separação de variáveis: buscar soluções da forma u(x,t)=X(x),T(t) e depois montar a série de Fourier em cossenos para satisfazer a condição inicial.

Passo 2

Assumindo u(x,t)=X(x)T(t), obtemos
T'k,T ;=;X''X ;=;-,lambda,
onde lambda é o valor próprio. Assim
T'(t)+k,lambda,T(t)=0, X''(x)+lambda,X(x)=0
com as condições X'(0)=0 e X'(pi)=0.

Passo 3

O problema de valores próprios em X dá as soluções
lambda0=0,;X0(x)=1, lambdan=n^2,;Xn(x)=cos(n x),;n=1,2,dots
e para cada n>=1
Tn(t)=expl(-k,n^2tr)

Passo 4

A solução geral é
u(x,t) = A0 + sumn=1^inftyAn,cos(n x),e^-k,n^2t
As constantes An vêm de
u(x,0)=2sin x = A0 + sumn=1^inftyAncos(n x)
Usando a fórmula da série de cossenos em [0,pi]:
A0=1piintegral0^pi2sin x,dx =4pi,
An =2piintegral0^pi2sin xcos(n x),dx =-4pi,(-1)^n+1,n^2-1,
Observa-se que An=0 para n ímpar, e para n=2m
A2m =-8pi,(4m^2-1)

Passo 5

Substituindo obtemos
u(x,t) =4pi - summ=1^infty 8pi,(4m^2-1) ;cos(2m x);e^-k,(2m)^2t ;=; 4pi - summ=1^infty 8pi,(4m^2-1) ;cos(2m x);e^-4m^2k,t

Resposta

boxed u(x,t) = 4pi - summ=1^infty 8pi,(4m^2-1) ;cos(2m x);e^-4m^2k,t

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