4.8M Calcule o momento de inércia da superfície homogênea S em torno do eixo indicado. Em cada caso admita que a densidade superficial de massa é rho equiv 1.
(c) S é a esfera x^2+y^2+z^2=R^2; Eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma casca esférica homogênea Scolon x^2+y^2+z^2=R^2 em torno do eixo z, com densidade superficial rhoequiv1. Vamos usar a definição
Iz=integral duplaS(x^2+y^2),rho,dS
e parametrizar S em coordenadas esféricas.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
x=Rsinthetacosphi, y=Rsinthetasinphi, z=Rcostheta,
com thetain[0,pi] e phiin[0,2pi]. Nesse caso
x^2+y^2=R^2sin^2theta
e o elemento de área é
dS=R^2sintheta,dtheta,dphi

Passo 3

Substituindo na integral:
Iz =integralphi=0^2piintegraltheta=0^pi(R^2sin^2theta),(1),(R^2sintheta),dtheta,dphi =R^4integral0^2pidphiintegral0^pisin^3theta,dtheta

Passo 4

Calculamos separadamente:
integral0^2pidphi=2pi,
integral0^pisin^3theta,dtheta =integral0^pisintheta,(1-cos^2theta),dtheta =4/3
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Iz=R^4,(2pi),43=8pi3R^4

Resposta

Iz=8pi3R^4

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