Exercício 4

Sejam F(x, y)=(e^-y-2 x) i+(-x e^-y-sen(y)) j e C o arco no primeiro quadrante da circunferência R(t)=(pi cos (t), pi sen(t)), com 0 <= t <= pi / 2. 1o) Mostre que o campo é conservativo. 2^o ) Determine a função potencial. 3^o )Calcule a integral:
integralC F cdot d R

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y) = l(e^-y - 2xr),i + l(-x e^-y - sin yr),j
e a curva C descrita por
R(t) = l(picos t,;pisin tr), 0<= t<= pi2
Pede-se:
1º) mostrar que F é conservativo;
2º) determinar a função potencial phi(x,y);
3º) calcular integralCFcdot dR.
Para isso vamos usar o critério de conservatividade em R^2, achar phi integrando uma componente e ajustar pela outra, e por fim aplicar o teorema fundamental para campos conservativos.

Passo 2

Escrevendo F=(P,Q) com
P(x,y)=e^-y-2x, Q(x,y)=-x e^-y-sin y,
calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^-y-2xr) =-e^-y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(-x e^-y-sin yr) =-e^-y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2, o campo é conservativo (domínio simplesmente conectado).

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que
phix=P e phiy=Q.
Integrando P em relação a x:
phi(x,y)=integrall(e^-y-2xr),dx = x e^-y-x^2 + h(y),
onde h(y) é função de y só.
Agora impomos phiy=Q:
phiy = -x e^-y + h'(y) stackrel!=-x e^-y-sin y ;Longrightarrow;h'(y)=-sin y ;Longrightarrow; h(y)=cos y + C
Portanto, uma primitiva conveniente é
phi(x,y)=x e^-y-x^2+cos y

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dR =phil(R(tfracpi2)r) -phil(R(0)r)
Temos R(0)=(pi,0) e R(tfracpi2)=(0,pi).
Logo
phi(0,pi) =0cdot e^-pi-0^2+cospi =-1,
phi(pi,0) =pi e^0-pi^2+cos0 =pi-pi^2+1
Então
integralCFcdot dR =(-1)-l(pi-pi^2+1r) =pi^2-pi-2

Resposta

1º) F é conservativo.
2º) Uma função potencial é
phi(x,y)=x e^-y-x^2+cos y
3º) integralCFcdot dR=pi^2-pi-2

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