Exercício 4
Sejam
e
o arco no primeiro quadrante da circunferência
, com
. 1o) Mostre que o campo é conservativo.
) Determine a função potencial.
)Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
e a curva descrita por
e a curva
Pede-se:
º) mostrar que
é conservativo;
2º) determinar a função potencial ;
º) calcular
.
Para isso vamos usar o critério de conservatividade em , achar
integrando uma componente e ajustar pela outra, e por fim aplicar o teorema fundamental para campos conservativos.
2º) determinar a função potencial
Para isso vamos usar o critério de conservatividade em
Passo 2
Escrevendo
com
calculamos
Como
em todo
, o campo é conservativo (domínio simplesmente conectado).
Passo 3
Procuramos
tal que
e
.
Integrando em relação a
:
Integrando
onde
é função de
só.
Agora impomos :
Agora impomos
Portanto, uma primitiva conveniente é
Passo 4
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Temos
e
.
Logo
Logo
Então