Seja A um subconjunto de R, caracterize ponto interior e ponto de fronteira de A.

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar, num contexto de topologia da reta, dois tipos de pontos relativos a um subconjunto AsubsetR. Vamos precisar da noção de vizinhança (intervalo aberto) em R e do complemento A^c=Rsetminus A.

Passo 2

Um ponto xinR é ponto interior de A quando existe alguma vizinhança aberta centrada em x que fique inteiramente contida em A. Em outras palavras, há epsilon>0 tal que
(x-epsilon,;x+epsilon)subset A

Passo 3

Um ponto xinR é ponto de fronteira de A quando toda vizinhança aberta centrada em x “toca” tanto A quanto o complemento de A. Ou seja, para todo epsilon>0 vale
(x-epsilon,;x+epsilon)cap Aneqemptyset e (x-epsilon,;x+epsilon)cap A^cneqemptyset

Resposta

Ponto interior de A: existe epsilon>0 com (x-epsilon,x+epsilon)subset A.
Ponto de fronteira de A: para todo epsilon>0, (x-epsilon,x+epsilon) intersecta A e A^c.

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