4.8M Calcule o momento de inércia da superfície homogênea S em torno do eixo indicado. Em cada caso admita que a densidade superficial de massa é rho equiv 1.
(d) S é a esfera x^2+y^2+z^2=R^2; Eixo é a reta x=y, z=0.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma casca esférica homogênea S (superfície x^2+y^2+z^2=R^2) em torno do eixo dado pela reta x=y,;z=0. A densidade superficial é rhoequiv1. Vamos usar a definição
I ;=;integral duplaS dM;l(distância ao eixor)^2, â
com dM=rho,dS=dS.

Passo 2

Para medir a distância de um ponto r=(x,y,z) ao eixo, escolhemos o vetor unitário de direção do eixo:
u=1raiz2(1,1,0)
A distância ao eixo é o comprimento do vetor componente de r perpendicular a u, ou seja
l| rtimes ur|^2 =;| r|^2-| rcdot u|^2 =R^2-( rcdot u)^2

Passo 3

Substituindo no integral de superfície,
I=integral duplaSl[R^2-( rcdot u)^2r],dS =R^2integral duplaSdS;-;integral duplaS( rcdot u)^2,dS
Sabemos que a área da casca é
integral duplaSdS=4pi R^2

Passo 4

Falta calcular integral duplaS( rcdot u)^2,dS. Pela simetria da esfera, a média de ( rcdot u)^2 sobre a superfície vale tfrac13| r|^2=tfrac13R^2. Logo
integral duplaS( rcdot u)^2,dS =R^23integral duplaSdS =R^23;4pi R^2 =4pi3R^4

Passo 5

Substituindo esses resultados em I:
I =R^2,(4pi R^2);-;4pi3R^4 =4pi R^4-4pi3R^4 =8pi3R^4

Resposta

I=8pi3R^4

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