Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=k ux x ux(0, t)=0, u(L, t)=0 u(x, 0)=f(x)

Passo 1

Estamos resolvendo a equação do calor
ut = k,uxx
em 0<x<L, com condições de contorno ux(0,t)=0 (Neumann em x=0) e u(L,t)=0 (Dirichlet em x=L), e condição inicial u(x,0)=f(x). O método de separação de variáveis nos leva a procurar soluções do tipo
u(x,t)=X(x),T(t)

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)T(t) na equação do calor, obtemos
X(x),T'(t) ;=; k,X''(x),T(t)
Dividindo ambos os lados por k,X(x),T(t)
T'(t)k,T(t) ;=;X''(x)X(x) ;=; -lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

A equação para T(t) fica
T'(t) + k,lambda,T(t)=0
cuja solução é
T(t) = e^-k,lambda,t

Passo 4

A equação para X(x) é
X''(x) + lambda,X(x)=0
com as condições X'(0)=0 e X(L)=0.

Passo 5

Procuramos valores de lambda que produzam soluções não-triviais. Para lambda>0 escrevemos lambda=mu^2 e a solução geral é
X(x)=Acos(mu x)+Bsin(mu x)
Da condição X'(0)=0 vem B,mu=0, logo B=0 e
X(x)=Acos(mu x)
Da condição X(L)=0 temos cos(mu L)=0, isto é
mu L = (2n-1)pi2, n=1,2,3,dots
Portanto
lambdan = mun^2 = ((2n-1)pi2L)^2, Xn(x) = cos!l((2n-1)pi2L,xr)

Passo 6

Pela linearidade, a solução geral é superposição dos modos:
u(x,t) =sumn=1^inftyAn, cos!l((2n-1)pi2L,xr), e^-k,l((2n-1)pi2Lr)^2t

Passo 7

Para determinar os coeficientes An, impomos u(x,0)=f(x):
f(x) = sumn=1^inftyAn, cos!l((2n-1)pi2L,xr)
Usando a ortogonalidade
integral0^L cos!l((2m-1)pi2Lxr) cos!l((2n-1)pi2Lxr),dx = 0,&mneq n, L2,&m=n,
vemos que
An =2L integral0^L f(x), cos!l((2n-1)pi2Lxr) ,dx

Resposta

boxed u(x,t) =sumn=1^infty gl[ 2L integral0^L f(s), cos!l(tfrac(2n-1)pi2Lsr) ,ds gr] cos!l(tfrac(2n-1)pi2Lxr), e^-k,l(tfrac(2n-1)pi2Lr)^2t

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