06)Encontre um desenvolvimento em série de potências para a função f(x)=cos ^2 x
R: 1+sumn=1(-1)^n 2^2 n-1(2 n)! x^2 n.

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de potências (Maclaurin) de
f(x)=cos^2 x
Vamos usar uma identidade trigonométrica para reescrever cos^2 x em função de cos(2x) e depois aplicar a expansão conhecida de cos z.

Passo 2

Usamos a identidade
cos^2 x = 1 + cos(2x)2

Passo 3

Lembramos que a série de Maclaurin de cos z é
cos z = sumn=0^infty(-1)^n z^2n(2n)!

Passo 4

Substituindo z=2x nessa série, obtemos
cos(2x) = sumn=0^infty(-1)^n (2x)^2n(2n)! = sumn=0^infty(-1)^n 2^2nx^2n(2n)!

Passo 5

Agora
cos^2 x = 12 + 12sumn=0^infty(-1)^n 2^2nx^2n(2n)! = 12 + sumn=0^infty(-1)^n 2^2n-1x^2n(2n)!
O termo n=0 dessa soma vale
(-1)^02^-1x^00!=12,
portanto
cos^2 x = 1 + sumn=1^infty(-1)^n 2^2n-1(2n)! ,x^2n

Resposta

boxedcos^2 x = 1 + sumn=1^infty(-1)^n 2^2n-1(2n)!,x^2n

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