2.8M Determine o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse x^2a^2+y^2b^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
O conteúdo envolvido é otimização com restrição (método dos multiplicadores de Lagrange). Vamos usar as coordenadas de um vértice (x,y) para expressar o perímetro do retângulo e impor a restrição da elipse.

Passo 2

Como o retângulo é simétrico em torno da origem e tem lados paralelos aos eixos, um vértice num primeiro quadrante vale (x,y) com x>=0, y>=0. Os lados medem 2x e 2y, então o perímetro é
P(x,y)=2l(2x+2yr)=4(x+y)
Queremos maximizar P(x,y) sujeito a
x^2a^2+y^2b^2=1

Passo 3

Formamos a Lagrangiana
L(x,y,lambda)=x+y-lambda!l(x^2a^2+y^2b^2-1r)
As condições de ótimo são
nabla L=0, isto é, as derivadas parciais em x, y e lambda devem ser nulas.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial Lpartial x=1-lambda2xa^2=0, partial Lpartial y=1-lambda2yb^2=0, partial Lpartial lambda=-l(x^2a^2+y^2b^2-1r)=0

Passo 5

Das duas primeiras equações vem
x=a^22lambda, y=b^22lambda
Substituindo na restrição
(a^2/(2lambda))^2a^2 +(b^2/(2lambda))^2b^2=1 ;Longrightarrow; a^2+b^24lambda^2=1 ;Longrightarrow; lambda=raiza^2+b^22
Logo
x=a^2raiza^2+b^2, y=b^2raiza^2+b^2

Passo 6

Substituindo esses valores em P=4(x+y), obtemos
Pmax =4,a^2+b^2raiza^2+b^2 =4,raiza^2+b^2

Resposta

O retângulo de maior perímetro inscrito na elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
tem vértices em
l(pma^2raiza^2+b^2,,pmb^2raiza^2+b^2r)
e seu perímetro máximo é
Pmax=4,raiza^2+b^2

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