2.8M Determine o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse
.
Passo 1
O enunciado pede o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse
O conteúdo envolvido é otimização com restrição (método dos multiplicadores de Lagrange). Vamos usar as coordenadas de um vértice
para expressar o perímetro do retângulo e impor a restrição da elipse.
Passo 2
Como o retângulo é simétrico em torno da origem e tem lados paralelos aos eixos, um vértice num primeiro quadrante vale
com
,
. Os lados medem
e
, então o perímetro é
Queremos maximizar
sujeito a
Passo 3
Formamos a Lagrangiana
As condições de ótimo são
, isto é, as derivadas parciais em
,
e
devem ser nulas.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Das duas primeiras equações vem
Substituindo na restrição
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Passo 6
Substituindo esses valores em
, obtemos
Resposta
O retângulo de maior perímetro inscrito na elipse
tem vértices em
e seu perímetro máximo é