Desenhe a imagem das seguintes funções f: R R^2
f(t)=(e^t cos t, e^t sen t), t >= 0

Passo 1

O enunciado pede para “desenhar a imagem” da curva paramétrica
f(t)=(e^tcos t,;e^tsen t) para t>=0.
O conteúdo aqui é curvas em coordenadas paramétricas no plano e vamos usar a mudança para coordenadas polares para entender o formato.

Passo 2

Em coordenadas polares (r,theta) temos
x(t)=e^tcos t, y(t)=e^tsen t
Calculamos o raio
r(t)=raizx(t)^2+y(t)^2 =raize^2t(cos^2t+sen^2t) =e^t,
e o ângulo
theta(t)=arctan!l(tfracy(t)x(t)r)=arctan(tan t)=t (para t>=0)
Logo, em polares a curva satisfaz
r=e^theta, theta>=0

Passo 3

A equação
r=e^theta
é a forma de uma espiral logarítmica que parte de r(0)=e^0=1 em theta=0 e, conforme theta (isto é, t) cresce, dá voltas no sentido anti-horário enquanto o raio r cresce exponencialmente.

Passo 4

Para ajudar no esboço, aponte alguns valores:
  • Em t=0: (x,y)=(1,0).
  • Em t=tfracpi2: (0,e^pi/2)approx(0,4,8).
  • Em t=pi: ( -e^pi,0)approx(-23,1,0).
  • Em t=tfrac3pi2: (0,-e^3pi/2)approx(0,-66,3).
    Isso mostra que a espiral abre rapidamente.

Passo 5

Para desenhar: trace eixos x e y, marque o ponto inicial (1,0), depois passe pelo ponto acima de (0,4,8), siga até (-23,0) e assim por diante, ligando suavemente para obter uma espiral que se afasta do centro e gira para a esquerda.

Resposta

A imagem de f é a espiral logarítmica de equação polar
r=e^theta, theta>=0,
começando em (1,0) e girando indefinidamente no sentido anti-horário, com raio que cresce exponencialmente.

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