Encontre uma curva parametrizada diferenciável definida em um intervalo
e cuja imagem coincida com o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede uma curva parametrizada diferenciável
cujo conjunto de pontos
seja exatamente o gráfico de
O conteúdo envolvido é parametrização de curvas, reconhecendo que esse gráfico é a “meia-elipse” superior dada por
Passo 2
Note que a curva
é uma elipse com semi-eixo horizontal
e vertical
. A parte
corresponde ao ramo superior, que de fato satisfaz
Passo 3
Para parametrizar a elipse inteira, usamos as funções trigonométricas padrão:
Isto garante
Passo 4
Como queremos somente o ramo
, basta restringir
a um intervalo em que
. Um intervalo conveniente é
pois aí
e assim
As funções
e
são diferenciáveis em todo , logo em
a parametrização é diferenciável.
Passo 5
Portanto, a curva
é diferenciável e sua imagem coincide exatamente com o gráfico de
.