(2,0) Encontre uma curva parametrizada diferenciável definida em um intervalo I e cuja imagem coincida com o gráfico da função f(x)=raiz1-3(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede uma curva parametrizada diferenciável r(t)=(x(t),y(t)) cujo conjunto de pontos (x(t),y(t)):tin I seja exatamente o gráfico de
y = f(x) = raiz1-3(x-1)^2
O conteúdo envolvido é parametrização de curvas, reconhecendo que esse gráfico é a “meia-elipse” superior dada por
3(x-1)^2+y^2=1, y>=0

Passo 2

Note que a curva
3(x-1)^2+y^2=1
é uma elipse com semi-eixo horizontal a=1/raiz3 e vertical b=1. A parte y>=0 corresponde ao ramo superior, que de fato satisfaz
y=raiz1-3(x-1)^2

Passo 3

Para parametrizar a elipse inteira, usamos as funções trigonométricas padrão:
x-1 = 1raiz3sin t, y = cos t
Isto garante
3(x-1)^2+y^2 =3l(tfrac1raiz3sin tr)^2+cos^2t =sin^2t+cos^2t=1

Passo 4

Como queremos somente o ramo , basta restringir a um intervalo em que . Um intervalo conveniente é
pois aí e assim
As funções e são diferenciáveis em todo , logo em a parametrização é diferenciável.

Passo 5

Portanto, a curva
r(t)=l(x(t),y(t)r) =l(1+tfrac1raiz3sin t,;cos tr), tinl(-tfracpi2,tfracpi2r),
é diferenciável e sua imagem coincide exatamente com o gráfico de f(x)=raiz1-3(x-1)^2.

Resposta

r(t)=l(1+tfrac1raiz3sin t,;cos tr), tinl(-tfracpi2,tfracpi2r)

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