Considere o conjunto .
(a) Mostre que .
(b) Mostre que a sequência converge para 1 .
(c) conjunto é compacto em ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede três coisas:
(a) mostrar que ;
(b) mostrar que a sequência converge para ;
(c) decidir se é compacto em .
Para isso vamos usar a definição de supremo, o conceito de limite de sequência e o critério de Heine–Borel (compacto em significa fechado e limitado).
Passo 2
Mostramos que é uma cota superior de .
Para todo ,
logo para todo . Assim, é uma cota superior de .
Passo 3
Mostramos que nenhuma cota menor que serve, de modo que .
Seja . Escolha tal que
o que é possível pois . Então
Isso prova que, para toda cota , existe . Logo é o menor limite superior, ou seja, .
Passo 4
Mostramos que converge para .
Dado , queremos . Note que
Basta escolher N tal que 1/(3N^2)<varepsilon. Para todo n>= N teremos
|xn-1|<= 13n^2<= 13N^2<varepsilon,
portanto limntoinftyxn=1.
Passo 5
Verificamos se X é compacto em R.
Pelo critério de Heine–Borel, em R um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.
X é claramente limitado (ficando dentro de (- infty,1)).
Porém 1 é ponto de acumulação de X (já que xnto1) e 1notin X. Logo X não é fechado.
Portanto X não é compacto em R.
Resposta
(a) sup X = 1.
(b) limntoinftyxn = 1.
(c) X não é compacto em R, pois não é fechado.