Considere o conjunto X=1-13 n^2 ; n in N.
(a) (0,5) Mostre que sup X=1.
(b) (0,25) Mostre que a sequência xn=1-13 n^2 converge para 1 .
(c) (0,25) O conjunto X é compacto em R ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
X = l1 - 13n^2;;;ninNr
e pede três coisas:
  • (a) mostrar que sup X = 1;
  • (b) mostrar que a sequência xn=1-13n^2 converge para 1;
  • (c) decidir se X é compacto em R.
    Para isso vamos usar a definição de supremo, o conceito de limite de sequência e o critério de Heine–Borel (compacto em R significa fechado e limitado).

Passo 2

Mostramos que 1 é uma cota superior de X.
Para todo ninN,
1 - 13n^2 < 1,
logo xn<= 1 para todo n. Assim, 1 é uma cota superior de X.

Passo 3

Mostramos que nenhuma cota menor que 1 serve, de modo que sup X=1.
Seja varepsilon>0. Escolha NinN tal que
13N^2<varepsilon,
o que é possível pois 1/(3n^2)to 0. Então
xN = 1 - 13N^2 > 1 - varepsilon
Isso prova que, para toda cota c<1, existe xn>c. Logo 1 é o menor limite superior, ou seja, sup X=1.

Passo 4

Mostramos que xn=1-13n^2 converge para 1.
Dado varepsilon>0, queremos |xn-1|<varepsilon. Note que
|xn-1| = l|1 - 13n^2 - 1r| = 13n^2
Basta escolher N tal que 1/(3N^2)<varepsilon. Para todo n>= N teremos
|xn-1|<= 13n^2<= 13N^2<varepsilon,
portanto limntoinftyxn=1.

Passo 5

Verificamos se X é compacto em R.
Pelo critério de Heine–Borel, em R um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.
  • X é claramente limitado (ficando dentro de (- infty,1)).
  • Porém 1 é ponto de acumulação de X (já que xnto1) e 1notin X. Logo X não é fechado.
    Portanto X não é compacto em R.

Resposta

(a) sup X = 1.
(b) limntoinftyxn = 1.
(c) X não é compacto em R, pois não é fechado.

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