Uma partícula se move de modo que, no instante t, a distância percorrida é dada por s(t)=t^33-t^2-3 t.
a) Encontre as expressões que fornecem a velocidade e a aceleração da partícula.
b) Em que instante a velocidade é zero?
c) Em que instante a aceleração é zero?

Passo 1

O enunciado nos dá a lei do movimento
s(t)=t^33-t^2-3t
e pede:
a) as expressões de velocidade v(t) e aceleração a(t);
b) o instante em que v(t)=0;
c) o instante em que a(t)=0.
Para isso vamos usar derivadas de primeiro e segundo ordem.

Passo 2

Para achar a velocidade v(t) calculamos a derivada de s(t). Lembrando que ddtl(t^3/3r)=t^2, ddt(t^2)=2t e ddt(3t)=3, temos
v(t)=s'(t)=t^2-2t-3

Passo 3

Para achar a aceleração a(t) calculamos a derivada de v(t). Como ddt(t^2)=2t e ddt(2t)=2, segue
a(t)=v'(t)=2t-2

Passo 4

Agora resolvemos v(t)=0, ou seja
t^2-2t-3=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, a soma e produto das raízes são 2 e -3, resultando em
t=2pmraiz4+122=2pm42Longrightarrow t=3;ou;t=-1
Como estamos falando de tempo físico, normalmente consideramos t>=0, ficando t=3.

Passo 5

Por fim, resolvemos a(t)=0, isto é
2t-2=0
que dá imediatamente
t=1

Resposta

a) v(t)=t^2-2t-3 e a(t)=2t-2.
b) t=3 (desprezando a solução negativa por questão de tempo físico).
c) t=1.

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