Resolva o problema abaixo, que representa uma corda, inicialmente em repouso, que é percutida por um martelo plano de largura 2 de<a, que lhe comunica uma velocidade inicial constante no trecho compreendido entre os pontos a-de<a e a+de<a. Utilize o resultado do exercício 4 b da lista 7 :
l ut t=c^2 ux x u(0, t)=u(L, t)=0 u(x, 0)=0 ut(x, 0)=g(x) h rvert, |c|g(x)=mida-de<a a+de<a
Deduza que se o ponto central do martelo coincidir com um nó de um certo harmônico, este não soará. OBS: Este princípio é usado no piano, onde o centro do martelo bate próximo ao ponto L7, a fim de eliminar o 7^circ harmônico, dissonante em relação ao tom fundamental.

Passo 1

Temos uma corda de comprimento
O martelo plano imprime uma velocidade constante apenas no trecho , de modo que
á
Queremos mostrar que, se o centro do martelo , então esse harmônico não é excitado.

Passo 2

Pelo resultado do exercício 4b da lista 7, a solução em séries de Fourier para a corda com velocidade inicial g(x) e deslocamento inicial zero é
u(x,t) =sumk=1^infty underbracegl[2Lintegral0^Lg(s)sinl(tfrackpi sLr),dsgr]Bk ;sinl(tfrackpi xLr)omegak,sin(omegak t),
onde
omegak=kpi cL
e
Bk=2Lintegral0^Lg(s)sinl(tfrackpi sLr),ds
é o coeficiente do k-ésimo harmônico.

Passo 3

Como g(x)=h em [a-de<a,a+de<a] e zero fora, temos
Bk =2hLintegrala-de<a^a+de<asinl(tfrackpi xLr),dx

Passo 4

Para calcular a integral, use
integralsin(alpha x),dx=-1alphacos(alpha x) com alpha=kpiL
Assim,
integrala-de<a^a+de<asinl(tfrackpi xLr),dx =Lkpil[cosl(tfrackpi(a-de<a)Lr) -cosl(tfrackpi(a+de<a)Lr)r]

Passo 5

Use a identidade
cos(u-v)-cos(u+v)=2sin usin v
com
u=tfrackpi aL e v=tfrackpide<aL. Obtemos
cosl(tfrackpi(a-de<a)Lr) -cosl(tfrackpi(a+de<a)Lr) =2sinl(tfrackpi aLr),sinl(tfrackpide<aLr)
Logo
Bk =2hLcdotLkpicdot2sinl(tfrackpi aLr)sinl(tfrackpide<aLr) =4hkpi,sinl(tfrackpi aLr),sinl(tfrackpide<aLr)

Passo 6

O coeficiente Bk anula-se se e somente se
sinl(tfrackpi aLr)=0 ou sinl(tfrackpide<aLr)=0
Como o martelo é estreito ( de<a pequeno), normalmente sin(tfrackpide<aL)neq0. A condição relevante passa a ser
sinl(tfrackpi aLr)=0 Long<=ftrightarrow a=m,Lk, minZ
Isto significa que, se o ponto central do martelo a coincide com um nó interior do k-ésimo harmônico, então Bk=0 e o k-ésimo harmônico não soa.

Resposta

O coeficiente de cada harmônico é
Bk=4hkpi,sinl(tfrackpi aLr),sinl(tfrackpide<aLr),
e anula-se sempre que
sin(tfrackpi aL)=0, i.e.\ quando o martelo bate em um nó do k-ésimo modo.

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