4.8R Calcule o campo eletrostático na origem devido a uma distribuição uniforme de carga sobre o cilindro x^2+y^2=R^2, 0 <= z <= a. [resp. E=2 pi rho raizR^2+a^2-RraizR^2+a^2 k ]

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico em (0,0,0) devido a uma densidade superficial uniforme rho sobre a casca cilíndrica
x^2+y^2=R^2, 0<= z<= a
O que vamos usar: simetria cilíndrica para ver que só sobra componente Ez, e a Lei de Coulomb em unidades cgs (onde a constante é implícita e aparece como 2pi no resultado).

Passo 2

Escolhemos um elemento de área na casca: fixamos z e theta, temos
dA = R,dtheta,dz, dQ=rho,dA=rho,R,dtheta,dz
O vetor posição do elemento até a origem é vec r=-Rcostheta,hatimath -Rsintheta,hatjmath -z,hat k, e sua distância é
r=raizR^2+z^2

Passo 3

Pela simetria, as componentes em hatimath,hatjmath se cancelam ao integrar em theta. A componente z de dvec E é
dEz =dQr^2cosalpha =rho,R,dtheta,dz(R^2+z^2)zraizR^2+z^2 =rho,R,z,dtheta,dz(R^2+z^2)^3/2

Passo 4

Integramos primeiro em theta de 0 a 2pi, e depois em z de 0 a a:
Ez =2pi,rho,R integral0^az,dz(R^2+z^2)^3/2

Passo 5

Para calcular
integral0^az,dz(R^2+z^2)^3/2,
note que
ddzl[(R^2+z^2)^-1/2r] =-z(R^2+z^2)^3/2,
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integral0^az,dz(R^2+z^2)^3/2 =l[-1raizR^2+z^2r]0^a =1R-1raizR^2+a^2 =raizR^2+a^2-RR,raizR^2+a^2,R

Passo 6

Substituindo em Ez:
Ez =2pi,rho,R;raizR^2+a^2-RR,raizR^2+a^2 =2pi,rho,raizR^2+a^2-RraizR^2+a^2
O vetor campo aponta ao longo de hat k.

Resposta

boxedE(0,0,0)=2pi,rho,raizR^2+a^2-RraizR^2+a^2,hat k

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