1. Determine se a série geométrica converge ou diverge, se convergir ache sua soma.

Passo 1

No enunciado temos a série infinita
1 + l(-tfrac1raiz5r) + dots + l(-tfrac1raiz5r)^n-1 + dots
que é uma série geométrica. O objetivo é determinar se ela converge e, em caso positivo, calcular sua soma.

Passo 2

Para a série geométrica geral, o primeiro termo é a e a razão é r. Aqui
a = 1 e r = -1raiz5
O critério de convergência diz que a série converge se, e somente se, lvert rrvert<1.

Passo 3

Calculando o valor de lvert rrvert:
lvert rrvert = llvert -1raiz5rrvert = 1raiz5 < 1
Como 1raiz5<1, concluímos que a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é dada por
S = a1 - r
Substituindo a=1 e r=-1raiz5, obtemos
S = 11 - l(-tfrac1raiz5r) = 11 + tfrac1raiz5
Para simplificar, multiplica-se numerador e denominador por raiz5:
S = raiz5raiz5 + 1

Resposta

A série converge e sua soma é dfracraiz5raiz5 + 1.

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