Seja
.
(a) Encontre, caso exista, o gradiente de
em
;
(b) Calcule
, sendo
um vetor unitário qualquer;
(c)
é diferenciável em
? Justifique!
(a) Encontre, caso exista, o gradiente de
(b) Calcule
(c)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) o gradiente em ;
(b) a derivada direcional em na direção do vetor unitário
;
(c) verificar se é diferenciável em
.
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial por limite, derivada direcional por limite ao longo da reta e o critério de diferenciabilidade via aproximação linear.
(a) o gradiente em
(b) a derivada direcional em
(c) verificar se
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial por limite, derivada direcional por limite ao longo da reta
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em
por definição:
pois
.
Analogamente,
Analogamente,
Passo 3
A derivada direcional em
na direção
é
Como
, segue
Passo 4
Se
fosse diferenciável em
, teríamos
com
. Isso exigiria
Tomando a reta
,
logo o termo de erro não é
e
não é diferenciável em
.
Resposta
(a)
(b)
(c) não é diferenciável em
.
(b)
(c)