(3,0) Seja f(x, y)=raiz[3]x^2 y.
(a) Encontre, caso exista, o gradiente de f em (0,0);
(b) Calcule partial fpartial u(0,0), sendo u=(a, b) um vetor unitário qualquer;
(c) f é diferenciável em (0,0) ? Justifique!

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=raiz[3]x^2y=(x^2y)^1/3
e pede:
(a) o gradiente em (0,0);
(b) a derivada direcional em (0,0) na direção do vetor unitário u=(a,b);
(c) verificar se f é diferenciável em (0,0).
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial por limite, derivada direcional por limite ao longo da reta tmapsto(t,a,t,b) e o critério de diferenciabilidade via aproximação linear.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) por definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=raiz[3]h^2cdot0=0.
Analogamente,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Passo 3

A derivada direcional em (0,0) na direção u=(a,b) é
partial fpartial u(0,0) =limtto0f(ta,tb)-f(0,0)t =limtto0l((t,a)^2,(t,b)r)^1/3t
Como l((t,a)^2(t,b)r)^1/3=(t^3,a^2b)^1/3=t,(a^2b)^1/3, segue
partial fpartial u(0,0)=(a^2b)^1/3

Passo 4

Se f fosse diferenciável em (0,0), teríamos
f(h,k)=f(0,0)+nabla f(0,0)cdot(h,k)+ol(raizh^2+k^2r)
com nabla f(0,0)=(0,0). Isso exigiria
f(h,k)raizh^2+k^2to0 (h,k)to(0,0)
Tomando a reta k=h,
f(h,h)raiz2,h^2 =raiz[3]h^2cdot hraiz2,|h| =|h|raiz2,|h|=1raiz2neq0,
logo o termo de erro não é o(raizh^2+k^2) e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) nabla f(0,0)=(0,0)
(b) partial fpartial u(0,0)=(a^2b)^1/3
(c) f não é diferenciável em (0,0).

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