[2,0] Dada a funçăo f(x)=1x^2-1, determine:
(a) O dominio de f e assíntotas do gráfico de f.
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento, e, valores máximos e minimos de f.
(c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão do gráfico de f.
(d) Um esboço do gráfico de f, usando as informaçōes obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1x^2-1
e pede
(a) o domínio e assíntotas,
(b) monotonicidade e extremos,
(c) concavidade e pontos de inflexão,
(d) um esboço do gráfico.
Vamos usar cálculo de derivadas para (b) e (c) e análise de limites para (a) e (d).

Passo 2

Para o domínio e assíntotas, observamos que o denominador x^2-1 anula-se em x=pm1.
– O domínio é
Dom(f)=Rsetminus-1,1
– Limites junto a xtopm1 mostram assíntotas verticais em x=-1 e x=1.
– Para xtopminfty, f(x)to0, logo y=0 é assíntota horizontal.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada por
Zeramos em . O sinal de depende de :
– Para , cresce em e .
– Para , decresce em e .
Em temos máximo local com

Passo 4

Para a concavidade, derivamos de novo:
f''(x) =ddxl(-2x(x^2-1)^-2r) =6x^2+2(x^2-1)^3 =2(3x^2+1)(x^2-1)^3
O numerador é sempre positivo, então o sinal de f''(x) vem de (x^2-1)^3:
|x|>1 Rightarrow x^2-1>0 Rightarrow f''(x)>0: concavidade voltada para cima em (-infty,-1) e (1,infty).
|x|<1 Rightarrow x^2-1<0 Rightarrow f''(x)<0: concavidade voltada para baixo em (-1,1).
Não há solução de f''(x)=0 no domínio, logo não há pontos de inflexão.

Passo 5

Com as informações:
– Assíntotas verticais em x=-1,1, horizontal em y=0.
– Rama esquerda ( x<-1): fto0^+ quando xto-infty, cresce e vai a +infty em xto-1^-, concavidade para cima.
– Região -1<x<0: cresce de -infty até -1 em x=0, concavidade para baixo.
– Região 0<x<1: decresce de -1 até -infty, concavidade para baixo.
– Rama direita ( x>1): decresce de +infty para 0^+, concavidade para cima.
Esse esboço mostra dois ramos simétricos em relação ao eixo y, com máximo local em (0,-1).

Resposta

(a) Dom(f)=Rsetminus-1,1.
Assíntotas verticais em x=-1 e x=1; horizontal em y=0.
(b) f'(x)=-2x/(x^2-1)^2: cresce em (-infty,-1) e (-1,0), decresce em (0,1) e (1,infty). Máximo local em (0,-1).
(c) f''(x)=2(3x^2+1)/(x^2-1)^3: concava para cima em (-infty,-1)cup(1,infty), para baixo em (-1,1). Sem pontos de inflexão.
(d) Gráfico com dois ramos: à esquerda parte de (-infty,0^+), sobe para +infty em x=-1; entre -1 e 1 cai de -infty a -1 em x=0 e volta a -infty; e à direita decai de +infty em x=1 para 0^+ em xto+infty.

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