[2,0] Dada a funçăo
, determine:
(a) O dominio de
e assíntotas do gráfico de
.
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento, e, valores máximos e minimos de
.
(c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão do gráfico de
.
(d) Um esboço do gráfico de
, usando as informaçōes obtidas nos itens anteriores.
(a) O dominio de
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento, e, valores máximos e minimos de
(c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão do gráfico de
(d) Um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede
(a) o domínio e assíntotas,
(b) monotonicidade e extremos,
(c) concavidade e pontos de inflexão,
(d) um esboço do gráfico.
Vamos usar cálculo de derivadas para (b) e (c) e análise de limites para (a) e (d).
(a) o domínio e assíntotas,
(b) monotonicidade e extremos,
(c) concavidade e pontos de inflexão,
(d) um esboço do gráfico.
Vamos usar cálculo de derivadas para (b) e (c) e análise de limites para (a) e (d).
Passo 2
Para o domínio e assíntotas, observamos que o denominador
anula-se em
.
– O domínio é
– O domínio é
– Limites junto a
mostram assíntotas verticais em
e
.
– Para ,
, logo
é assíntota horizontal.
– Para
Passo 3
Calculamos a primeira derivada por
Zeramos
em
. O sinal de
depende de
:
– Para ,
cresce em
e
.
– Para ,
decresce em
e
.
Em temos máximo local com
– Para
– Para
Em
Passo 4
Para a concavidade, derivamos de novo:
O numerador é sempre positivo, então o sinal de
vem de
:
– : concavidade voltada para cima em
e
.
– : concavidade voltada para baixo em
.
Não há solução de no domínio, logo não há pontos de inflexão.
–
–
Não há solução de
Passo 5
Com as informações:
– Assíntotas verticais em , horizontal em
.
– Rama esquerda ( ):
quando
, cresce e vai a
em
, concavidade para cima.
– Região : cresce de
até
em
, concavidade para baixo.
– Região : decresce de
até
, concavidade para baixo.
– Rama direita ( ): decresce de
para
, concavidade para cima.
Esse esboço mostra dois ramos simétricos em relação ao eixo , com máximo local em
.
– Assíntotas verticais em
– Rama esquerda (
– Região
– Região
– Rama direita (
Esse esboço mostra dois ramos simétricos em relação ao eixo
Resposta
(a)
.
Assíntotas verticais em e
; horizontal em
.
(b) : cresce em
e
, decresce em
e
. Máximo local em
.
(c) : concava para cima em
, para baixo em
. Sem pontos de inflexão.
(d) Gráfico com dois ramos: à esquerda parte de , sobe para
em
; entre
e
cai de
a
em
e volta a
; e à direita decai de
em
para
em
.
Assíntotas verticais em
(b)
(c)
(d) Gráfico com dois ramos: à esquerda parte de