4.8S Qual o potencial eletrostático no ponto ( 0,0, z ), devido a uma distribuição uniforme de carga sobre o hemisfério z=raizR^2-x^2-y^2 ? [resp. 2 pi rho Rz(raizR^2+z^2-R+z) ]

Passo 1

O problema pede o potencial eletrostático no ponto (0,0,z) gerado por uma distribuição de carga superficial uniforme com densidade rho sobre o hemisfério
z=raizR^2-x^2-y^2,, z>=0
O conteúdo é o cálculo de potencial via
V(P)=kintegralsuperfícierho,dA| r- r'|, í
onde vamos parametrizar a superfície em coordenadas esféricas (ângulos theta,varphi) e usar simetria azimutal para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas esféricas centrais na origem, qualquer ponto da casca vem de
r'=R,,thetain[0,tfracpi2],,varphiin[0,2pi],
com
dA=R^2sintheta,dtheta,dvarphi,
e a distância até P=(0,0,z) é
| r- r'|=raizR^2+z^2-2Rzcostheta
Logo
V(z)=k,rhointegral0^2pi!integral0^pi/2R^2sintheta,dtheta,dvarphi% raizR^2+z^2-2Rzcostheta

Passo 3

Integramos em varphi para obter fator 2pi, ficando
V(z)=2pi k,rho R^2integral0^pi/2sintheta,dtheta% raizR^2+z^2-2Rzcostheta
Para resolver o integral em theta fazemos a mudança de variável
u=costhetaLongrightarrow du=-sintheta,dtheta,
e os limites u(0)=1, u(pi/2)=0. Então

Passo 4

integral0^pi/2sintheta,dthetaraizR^2+z^2-2Rzcostheta =integral1^0-duraiza - b,u =integral0^1duraiza - b,u,
onde a=R^2+z^2 e b=2Rz. Esse é um integral elementar:
integralduraiza - b,u =-2braiza - b,u|0^1 =2bl(raiza-raiza-br)

Passo 5

Substituindo a e b:
integral =22Rzl(raizR^2+z^2-raiz(R-z)^2r) =1Rzl(raizR^2+z^2-|R-z|r)
Para z>=0 e adotando a convenção que leva a raiz(R-z)^2=R-z, temos
V(z) =2pi k,rho R^2,1Rzl(raizR^2+z^2-(R-z)r) =2pi k,rho,Rzl(raizR^2+z^2-R+zr)

Resposta

V(0,0,z) =2pi,rho,Rzl(raizR^2+z^2-R+zr)

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