4.8S Qual o potencial eletrostático no ponto (
), devido a uma distribuição uniforme de carga sobre o hemisfério
? [resp.
]
Passo 1
O problema pede o potencial eletrostático no ponto
gerado por uma distribuição de carga superficial uniforme com densidade
sobre o hemisfério
O conteúdo é o cálculo de potencial via
onde vamos parametrizar a superfície em coordenadas esféricas (ângulos
) e usar simetria azimutal para simplificar.
Passo 2
Em coordenadas esféricas centrais na origem, qualquer ponto da casca vem de
com
e a distância até
é
Logo
Passo 3
Integramos em
para obter fator
, ficando
Para resolver o integral em
fazemos a mudança de variável
e os limites
,
. Então
Passo 4
onde
e
. Esse é um integral elementar:
Passo 5
Substituindo
a e
b :
Para
z>=0 e adotando a convenção que leva a
raiz(R-z)^2=R-z , temos