(a) Calcule lim n infty 1n[(1+1n)^5+(1+2n)^5+cdots+(1+nn)^5]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limntoinfty1nl[(1+tfrac1n)^5+(1+tfrac2n)^5+cdots+(1+tfrac nn)^5r]
Este problema usa o conceito de soma de Riemann para interpretar essa soma como uma integral definida da função f(x)=(1+x)^5 no intervalo [0,1].

Passo 2

No método de Riemann dividimos [0,1] em n subintervalos de largura
De<a x = 1n
e escolhemos pontos xk = kn. A soma
sumk=1^n f(xk),De<a x
é exatamente
1nsumk=1^nl(1+tfracknr)^5
Logo, quando ntoinfty, essa soma converge para
integral0^1(1+x)^5,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral
integral0^1(1+x)^5,dx
Fazendo a mudança de variável u=1+x, du=dx, com u(0)=1 e u(1)=2, temos
integral0^1(1+x)^5,dx =integral1^2u^5,du =l[tfracu^66r]1^2 =2^6-1^66 =636 =212

Resposta

212

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