Calcule o limite
lim x 4 x^3-12 x^2+44 x-48x-4
(Sugestão: para fatorar expressão do 3^circ grau, faça como no segundo grau: ache as raízes x1, x2 e x3 e coloque na fórmula a(x-x1)(x-x2)(x-x3) )

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto4x^3-12x^2+44x-48x-4
Este é um caso de forma indeterminada 0/0, e vamos usar o Teorema do Resto (ou fatoração) para polinômios: se x=a é raiz do numerador, então (x-a) é fator.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=4:
4^3-12cdot4^2+44cdot4-48 = 64 - 192 + 176 - 48 = 0,
e o denominador 4-4=0. Logo temos 0/0 e precisamos fatorar o numerador para simplificar.

Passo 3

Pelo Teorema do Resto, como x=4 zera o numerador, então (x-4) é fator. Fazemos divisão sintética de x^3-12x^2+44x-48 por x-4:
coeficientes: 1,,-12,,44,,-48 divididos por 4 dão quociente com coeficientes 1,,-8,,12.

Passo 4

O resultado da divisão sintética mostra
x^3-12x^2+44x-48 = (x-4)l(x^2-8x+12r)
Fatoramos o quadrático:
x^2-8x+12=(x-2)(x-6)
Assim
x^3-12x^2+44x-48x-4 =(x-4)(x-2)(x-6)x-4 =(x-2)(x-6)

Passo 5

Agora o limite deixa de ser indeterminado, basta substituir x=4 em (x-2)(x-6):
(4-2)(4-6)=2cdot(-2)=-4

Resposta

-4

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