Represente f(x) por uma série de potências:
f(x)=x e^3 x
R: sum 3^nn! x^n+1

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver
f(x)=x,e^3x
em série de potências (ou seja, Maclaurin). Vamos usar a expansão conhecida de e^y.

Passo 2

A série de Maclaurin para e^3x é
e^3x ;=; sumn=0^infty (3x)^nn! ;=;sumn=0^infty 3^nn!,x^n

Passo 3

Multiplicando por x, obtemos
f(x)=x,e^3x =xsumn=0^infty 3^nn!,x^n =sumn=0^infty 3^nn!,x^,n+1

Passo 4

Se quisermos reindexar para ter potências x^k começando em k=1, basta pôr k=n+1. Assim
f(x)=sumk=1^infty 3^,k-1(k-1)!,x^k

Resposta

sumn=0^infty 3^nn!,x^,n+1

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