Exercício 3. Resolva o problema de Dirichlet no semi-círculo:
l ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0, D:(r<1,0<theta<pi) u(r, 0)=u(r, pi)=0 , (r<1) u(1, theta)= theta, & se 0<theta<pi2 pi2, & se pi2<theta<pi

Passo 1

O enunciado pede a solução de Laplace em coordenadas polares no semi-círculo
D=(r,theta)mid 0<r<1,;0<theta<pi
com condições de contorno
u(r,0)=u(r,pi)=0,;0<r<1,
e
u(1,theta)=f(theta) = theta,&0<theta<tfracpi2, tfracpi2,&tfracpi2<theta<pi
O método é separação de variáveis em coordenadas polares, obtendo expansão em série de seno em theta e potências de r.

Passo 2

Assumimos solução da forma
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
Substituindo em urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0 e dividindo por RTheta obtemos
r^2R''+rR'R+Theta''Theta=0,
ou seja cada parte é constante -lambda. A equação angular é
Theta''+lambda,Theta=0,
com Theta(0)=Theta(pi)=0, que leva a eigenvalores lambdan=n^2 e autofunções Thetan(theta)=sin(ntheta), n=1,2,dots.

Passo 3

A parte radial satisfaz
r^2R''+rR'-n^2R=0,
cuja solução geral é R(r)=Cn r^n+Dn r^-n. Para u finita em r=0 deve ficar Dn=0, logo
Rn(r)=r^n
Assim a solução geral regular em D é
u(r,theta)=sumn=1^inftyan,r^nsin(ntheta)

Passo 4

Impondo u(1,theta)=f(theta) obtemos a série de Fourier-seno em [0,pi]:
sumn=1^infty an sin(ntheta) = f(theta),
com coeficientes
an = 2pi integral0^pi f(theta) sin(ntheta) , dtheta

Passo 5

Como f é dado por trecho, separamos a integral:
integral0^pif(theta)sin(ntheta),dtheta =integral0^pi/2thetasin(ntheta),dtheta +integralpi/2^pitfracpi2sin(ntheta),dtheta
1. Em [0,pi/2] por partes:
integral0^pi/2thetasin(ntheta),dtheta =-thetacos(ntheta)n|0^pi/2 +1nintegral0^pi/2cos(ntheta),dtheta =-pi2ncosnpi2+sinnpi2n^2
2. Em [pi/2,pi]:
integralpi/2^pipi2sin(ntheta),dtheta =pi2l[-cos(ntheta)nr]pi/2^pi =pi2nl(-cos(npi)+costfracnpi2r) =pi2nl((-1)^n+1+costfracnpi2r)
Somando e multiplicando por 2/pi resulta
an =2pil[ -pi2ncostfracnpi2 +sintfracnpi2n^2 +pi2n((-1)^n+1+costfracnpi2) r] =(-1)^n+1n+2pi,n^2sinnpi2

Passo 6

Portanto a solução do problema de Dirichlet é
u(r,theta) =sumn=1^infty l[(-1)^n+1n+2pi,n^2sinnpi2r] ,r^nsin(ntheta)

Resposta

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