Exercício 3. Resolva o problema de Dirichlet no semi-círculo:
Passo 1
O enunciado pede a solução de Laplace em coordenadas polares no semi-círculo
com condições de contorno
e
O método é separação de variáveis em coordenadas polares, obtendo expansão em série de seno em
theta e potências de
r .
Passo 2
Assumimos solução da forma
Substituindo em
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0 e dividindo por
RTheta obtemos
ou seja cada parte é constante
-lambda . A equação angular é
com
Theta(0)=Theta(pi)=0 , que leva a eigenvalores
lambdan=n^2 e autofunções
Thetan(theta)=sin(ntheta) ,
n=1,2,dots .
Passo 3
A parte radial satisfaz
cuja solução geral é
R(r)=Cn r^n+Dn r^-n . Para
u finita em
r=0 deve ficar
Dn=0 , logo
Assim a solução geral regular em
D é
Passo 4
Impondo
u(1,theta)=f(theta) obtemos a série de Fourier-seno em
[0,pi] :
com coeficientes
Passo 5
Como
f é dado por trecho, separamos a integral:
Somando e multiplicando por
2/pi resulta
Passo 6
Portanto a solução do problema de Dirichlet é