4.8W Dada uma superfície de equação cartesiana de classe , mostre que:
(a) ;
(b) .
Passo 1
O enunciado nos dá uma superfície definida implicitamente por
com e . Queremos usar o Teorema da Função Implícita para expressar como função de e então aplicar a fórmula de integral de superfície via parametrização:
e para o fluxo
integral duplaSvec Fcdotvec nS,dS=integral duplaDvec Fl(r(y,z)r)cdotl(rytimes rzr),dy,dz
Passo 2
Pelo Teorema da Função Implícita, existe gin C^1 tal que
x=g(y,z),
e definimos a parametrização
r(y,z)=l(g(y,z),,y,,zr)
Então
ry=l(gy,,1,,0r), rz=l(gz,,0,,1r)
Passo 3
Calculamos o produto vetorial:
rytimes rz =det i & j & k gy & 1 & 0 gz & 0 & 1 =(1,,-gy,,-gz)