4.8W Dada uma superfície S de equação cartesiana varphi(x, y, z)=0,(y, z) in D, varphi de classe C^1, com varphix neq 0, mostre que:
(a) integral duplaS f(x, y, z) d S=integral duplaD raizvarphix^2+varphiy^2+varphiz^2 f(x, y, z)|varphix| d y d z;
(b) integral duplaS F cdot nS d S=integral duplaD(F cdot nabla varphi) 1|varphix| d y d z.

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície S definida implicitamente por
varphi(x,y,z)=0, (y,z)in D,
com varphiin C^1 e varphixneq0. Queremos usar o Teorema da Função Implícita para expressar x como função de (y,z) e então aplicar a fórmula de integral de superfície via parametrização:
integral duplaSf,dS=integral duplaDfl(r(y,z)r)llvert rytimes rzrrvert,dy,dz
e para o fluxo
integral duplaSvec Fcdotvec nS,dS=integral duplaDvec Fl(r(y,z)r)cdotl(rytimes rzr),dy,dz

Passo 2

Pelo Teorema da Função Implícita, existe gin C^1 tal que
x=g(y,z),
e definimos a parametrização
r(y,z)=l(g(y,z),,y,,zr)
Então
ry=l(gy,,1,,0r), rz=l(gz,,0,,1r)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
rytimes rz =det i & j & k gy & 1 & 0 gz & 0 & 1 =(1,,-gy,,-gz)
Logo
llvert rytimes rzrrvert =raiz1+gy^2+gz^2

Passo 4

Da condição varphil(g(y,z),y,zr)=0 temos
varphix,gy+varphiy=0, varphix,gz+varphiz=0
de onde
gy=-varphiyvarphix, gz=-varphizvarphix
Assim
1+gy^2+gz^2 =1+varphiy^2+varphiz^2varphix^2 =varphix^2+varphiy^2+varphiz^2varphix^2,
então
llvert rytimes rzrrvert =raizvarphix^2+varphiy^2+varphiz^2lvertvarphixrvert
Substituindo na fórmula de integral de superfície,
integral duplaSf,dS =integral duplaDfl(g(y,z),y,zr), raizvarphix^2+varphiy^2+varphiz^2lvertvarphixrvert ,dy,dz,
provando (a).

Passo 5

Para o fluxo, note que
rytimes rz =1varphixl(varphix,varphiy,varphizr) =nablavarphivarphix
Logo
integral duplaSvec Fcdotvec nS,dS =integral duplaDvec Fl(r(y,z)r)cdotnablavarphivarphix ,dy,dz =integral duplaD(vec Fcdotnablavarphi)1lvertvarphixrvert,dy,dz,
o que demonstra (b).

Resposta

(a) integral duplaS f,dS=integral duplaDraizvarphix^2+varphiy^2+varphiz^2,flvertvarphixrvert,dy,dz
(b) integral duplaSvec Fcdotvec nS,dS=integral duplaD(vec Fcdotnablavarphi),1lvertvarphixrvert,dy,dz

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