Represente f(x) por uma série de potências:
f(x)=x^2 ln (1+x^2),|x|<1
R: sum(-1)^n x^2 n+4n+1

Passo 1

O enunciado pede para representar
f(x)=x^2lnl(1+x^2r)
como série de potências em torno de 0, sabendo que lvert xrvert<1. Vamos usar a expansão conhecida de ln(1+u).

Passo 2

O desenvolvimento em série de Taylor de ln(1+u) para lvert urvert<1 é
ln(1+u)=sumn=0^infty(-1)^n,u^,n+1n+1

Passo 3

Fazendo u=x^2 e multiplicando por x^2, obtemos
f(x)=x^2lnl(1+x^2r) =x^2sumn=0^infty(-1)^n,(x^2)^,n+1n+1 =sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+4n+1

Passo 4

A série obtida
sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+4n+1
converge para lvert xrvert<1, que é o mesmo raio de convergência da série de ln(1+u).

Resposta

f(x)=x^2lnl(1+x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+4n+1, |x|<1

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