1.91 Se os vetores
e
são tais que
, mostre que eles são coplanares.
Passo 1
O enunciado diz que temos três vetores
tais que
Queremos mostrar que esses vetores são coplanares, ou seja, que o volume do paralelogramo formado por eles é zero.
Passo 2
Lembramos que três vetores são coplanares se, e só se, o produto misto for zero. O produto misto de
é definido como
que geometricamente é seis vezes o volume do tetraedro gerado por eles. Logo basta provar que
Passo 3
Vamos usar a hipótese e aplicar o produto escalar com
em ambos os lados:
Passo 4
Pela distributividade do produto escalar e usando que
é perpendicular a
e a
, temos
Mas
e
, pois cada um desses vetores cruzados é ortogonal a
. Logo sobra
Passo 5
Como o produto misto
é zero, concluímos que o volume do paralelogramo (e do tetraedro) formado por
é nulo. Logo, eles são coplanares.
Resposta
Os vetores são coplanares, pois seu produto misto
é zero.