1.91 Se os vetores u, v e w são tais que u times v+v times w+w times u=0, mostre que eles são coplanares.

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores u,v,w tais que
utimesv ;+;vtimesw ;+;wtimesu ;=;0
Queremos mostrar que esses vetores são coplanares, ou seja, que o volume do paralelogramo formado por eles é zero.

Passo 2

Lembramos que três vetores são coplanares se, e só se, o produto misto for zero. O produto misto de u,v,w é definido como
(utimesv)cdotw,
que geometricamente é seis vezes o volume do tetraedro gerado por eles. Logo basta provar que
(utimesv)cdotw=0

Passo 3

Vamos usar a hipótese e aplicar o produto escalar com w em ambos os lados:
l(utimesv + vtimesw + wtimesur)cdotw = 0cdotw = 0

Passo 4

Pela distributividade do produto escalar e usando que atimesb é perpendicular a a e a b, temos
(utimesv)cdotw ;+; (vtimesw)cdotw ;+; (wtimesu)cdotw ;=;0
Mas (vtimesw)cdotw=0 e (wtimesu)cdotw=0, pois cada um desses vetores cruzados é ortogonal a w. Logo sobra
(utimesv)cdotw = 0

Passo 5

Como o produto misto (utimesv)cdotw é zero, concluímos que o volume do paralelogramo (e do tetraedro) formado por u,v,w é nulo. Logo, eles são coplanares.

Resposta

Os vetores são coplanares, pois seu produto misto (utimesv)cdotw é zero.

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