Prove que:
Se a cdot v=b cdot v, forall v, então a=b ;

Passo 1

O enunciado diz que existem vetores vec a e vec b tais que
vec acdotvec v=vec bcdotvec v para todo vetor vec v.
O conteúdo aqui é a propriedade do produto escalar (dot product) em espaços vetoriais reais, notadamente a sua linearidade e o fato de que
|vec w|^2=vec wcdotvec w só pode ser zero se vec w for o vetor nulo.

Passo 2

Defina o vetor
vec c=vec a-vec b.
Então, para todo vec v,
vec ccdotvec v =(vec a-vec b)cdotvec v =vec acdotvec v-vec bcdotvec v =0
pela hipótese vec acdotvec v=vec bcdotvec v.

Passo 3

Em particular, escolha vec v=vec c. Assim,
vec ccdotvec c =|vec c|^2 =0
Mas o único vetor com norma nula é o vetor nulo, logo vec c=vec 0.

Resposta

Como vec c=vec a-vec b=vec 0, segue vec a=vec b.

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