Prove que:
Se
, então
Se
Passo 1
O enunciado diz que existem vetores
e
tais que
para todo vetor
.
O conteúdo aqui é a propriedade do produto escalar (dot product) em espaços vetoriais reais, notadamente a sua linearidade e o fato de que
só pode ser zero se
for o vetor nulo.
O conteúdo aqui é a propriedade do produto escalar (dot product) em espaços vetoriais reais, notadamente a sua linearidade e o fato de que
Passo 2
Defina o vetor
.
Então, para todo ,
Então, para todo
pela hipótese
.
Passo 3
Em particular, escolha
. Assim,
Mas o único vetor com norma nula é o vetor nulo, logo
.
Resposta
Como
, segue
.