Seja X um espaço normado.
(b) Mostre que se uma sequência (xn) subset X é convergente, então qualquer subsequência de (xn) subset X converge para o mesmo limite.

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço normado X temos uma sequência l(xnr) que converge a um ponto xin X. Precisamos mostrar que qualquer subsequência l(xnkr) desta mesma sequência também converge para x. Vamos usar a definição de convergência em espaços normados e o conceito de subsequência.

Passo 2

Relembremos a definição de convergência em X:
Dizemos que l(xnr) converge para x se, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que, para todo n>= N,
|xn - x| < varepsilon

Passo 3

Agora, uma subsequência l(xnkr) é simplesmente a sequência obtida escolhendo índices crescentes n1<n2<cdots. Ou seja, cada termo da subsequência é um dos termos da sequência original, mas “pulando” alguns.

Passo 4

Como l(xnr)to x, dado varepsilon>0 existe N tal que
forall,n>= N: |xn - x| < varepsilon
Na subsequência tomamos índices nk. Como nktoinfty quando ktoinfty, existe K tal que
nK >= N
Para todo k>= K vale nk>= nK>= N, logo
|xnk - x| < varepsilon
Isso mostra que, para cada varepsilon>0, todos os termos da subsequência a partir de k=K ficam a menos de varepsilon de x.

Resposta

Qualquer subsequência l(xnkr) converge para o mesmo limite x.

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