Seja
um espaço normado.
(b) Mostre que se uma sequência
é convergente, então qualquer subsequência de
converge para o mesmo limite.
(b) Mostre que se uma sequência
Passo 1
O enunciado diz que em um espaço normado
temos uma sequência
que converge a um ponto
. Precisamos mostrar que qualquer subsequência
desta mesma sequência também converge para
. Vamos usar a definição de convergência em espaços normados e o conceito de subsequência.
Passo 2
Relembremos a definição de convergência em
:
Dizemos que converge para
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
Dizemos que
Passo 3
Agora, uma subsequência
é simplesmente a sequência obtida escolhendo índices crescentes
. Ou seja, cada termo da subsequência é um dos termos da sequência original, mas “pulando” alguns.
Passo 4
Como
, dado
existe
tal que
Na subsequência tomamos índices
. Como
quando
, existe
tal que
Para todo
vale
, logo
Isso mostra que, para cada
, todos os termos da subsequência a partir de
ficam a menos de
de
.
Resposta
Qualquer subsequência
converge para o mesmo limite
.