Prove que:
Se a times v=b times v, forall v, então a=b.

Passo 1

Vamos reescrever a hipótese em termos de um único vetor. Seja
u = a - b.
Então, para todo v,
atimes v ;=;btimes v ;Longrightarrow; (a-b)times v ;=;utimes v ;=;0
Nosso objetivo agora é mostrar que u=0.

Passo 2

Escrevamos u=(u1,u2,u3) no referencial canônico e apliquemos a condição utimes v=0 a alguns vetores v.
Para v=(1,0,0):
utimes (1,0,0) = (u1,u2,u3)times(1,0,0) = l(0,;u3,;-,u2r) ;=;(0,0,0)
daí u3=0 e u2=0.
Para v=(0,1,0):
utimes (0,1,0) = (u1,u2,u3)times(0,1,0) = l(-,u3,;0,;u1r) ;=;(0,0,0)
daí u1=0 (e já sabíamos u3=0).
Assim u1=u2=u3=0, ou seja u=0.

Passo 3

Como u=a-b=0, segue imediatamente a=b

Resposta

a=b

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