The hull of a boat has a volume of 150 \mathrm{~m}^{3}, and the total mass of the boat when empty is 8560 kg . Determine how much load this boat can carry without sinking
in seawater with a specific gravity of 1.03

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo. Informações fornecidas:
  • Volume do casco: 150\\ \mathrm{m^3}.
  • Massa total do barco vazio: 8560\\ \mathrm{kg}.
  • Gravidade específica da água do mar: 1,03.
Pergunta que precisamos responder:
  • Qual a massa de carga (em kg) que o barco pode levar sem afundar?

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado devagar): princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmula:
F_{\text{empuxo}} = \rho_{\text{fluido}} \, V_{\text{desloc}} \, g,
onde:
  • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^3}),
  • V_{\text{desloc}} é o volume de fluido deslocado (em \mathrm{m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}).
O peso total do barco com carga é
W_{\text{total}} = M_{\text{total}} \, g,
onde M_{\text{total}} é a massa total (barco vazio + carga). Para flutuar sem afundar até o ponto de submersão total do casco, o empuxo máximo ocorre quando V_{\text{desloc}} iguala o volume interno do casco V_{\text{casco}}. Em equilíbrio F_{\text{empuxo}} = W_{\text{total}}. Cancelando g (aparece dos dois lados), obtemos a relação prática:
M_{\text{máx}} = \rho_{\text{fluido}} \, V_{\text{casco}},á
onde M_{\text{máx}}á é a massa máxima que pode ser sustentada sem afundar além do casco.

Passo 3

Explicar especificidade: gravidade específica (ou densidade relativa) é definida por
\text{SG} = \frac{\rho_{\text{fluido}}}{\rho_{\text{água\\ doce}}},á
e normalmente tomamos \rho_{\text{água\\ doce}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}á. Então a densidade da água do mar é
\rho_{\text{mar}} = \text{SG}\times 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Com \text{SG}=1,03 temos
\rho_{\text{mar}} = 1,03 \times 1000 = 1030\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Calcular a massa máxima que o casco pode suportar (usar V_{\text{casco}}=150\\ \mathrm{m^3}):
M_{\text{máx}} = \rho_{\text{mar}} \, V_{\text{casco}} = 1030 \times 150.á
Fazendo a multiplicação passo a passo:
1030\times 150 = 1030\times(100+50)=1030\times100 + 1030\times50 = 103000 + 51500 = 154500\\ \mathrm{kg}.
Portanto o casco, completamente submerso, sustentaria até 154500\\ \mathrm{kg} de massa total.

Passo 5

Agora encontramos a massa de carga permitida subtraindo a massa do barco vazio:
M_{\text{carga}} = M_{\text{máx}} - M_{\text{vazio}} = 154500 - 8560.á
Fazendo a subtração passo a passo:
154500 - 8000 = 146500,
146500 - 560 = 145940.
Logo M_{\text{carga}} = 145940\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Interpretação final e aviso prático (rápido): esse valor é a massa máxima teórica que o casco deslocando inteiramente 150\\ \mathrm{m^3} de água do mar de densidade 1030\\ \mathrm{kg/m^3} pode suportar. Na prática deve-se usar folga de segurança (não carregar até o bordo), mas a resposta matemática pedida é a massa calculada acima.

Resposta

\,145940\\ \mathrm{kg}

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