The hull of a boat has a volume of 150 \mathrm{~m}^{3}, and the total mass of the boat when empty is 8560 kg . Determine how much load this boat can carry without sinking
in a lake

Passo 1

O enunciado dá o volume do casco e a massa do barco vazio e pede quanto de carga (massa) ele pode levar sem afundar. Dados fornecidos:
V = 150\\ \mathrm{m^3}
m_{\text{barco}} = 8560\\ \mathrm{kg}
Queremos encontrar m_{\text{carga}}, a massa máxima de carga que o barco pode transportar sem afundar. Vou assumir que o lago é de água doce com densidade aproximada
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},
a menos que o enunciado especifique outra densidade.

Passo 2

Conceito físico usado: princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo F_b sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado:
F_b = \rho \, V_{\text{disp}} \, g.
Aqui:
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m^3),
  • V_{\text{disp}} é o volume de fluido deslocado (m^3),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
No caso de “até afundar”, o máximo de empuxo ocorre quando o casco desloca todo o seu volume, isto é V_{\text{disp}} = V. Assim o empuxo máximo é \rho V g.

Passo 3

Condição de equilíbrio (não afundar): o peso total do barco com a carga não pode exceder o empuxo máximo. Escrevemos:
(m_{\text{barco}} + m_{\text{carga}})\, g \le \rho \, V \, g.
As duas expressões têm o fator g, que é diferente de zero, portanto ele se cancela; podemos trabalhar diretamente com massas:
m_{\text{barco}} + m_{\text{carga}} \le \rho \, V.

Passo 4

Isolando m_{\text{carga}} obtemos a fórmula prática:
m_{\text{carga}} \le \rho \, V - m_{\text{barco}}.
Aqui cada termo é uma massa em kg:
  • m_{\text{carga}} é o que queremos,
  • \rho V é a massa de água que pode ser deslocada no máximo,
  • m_{\text{barco}} é a massa vazia do barco.

Passo 5

Calculemos \rho V:
\rho V = 1000 \cdot 150 = 150000\\ \mathrm{kg}.
(Comentário didático rápido: isso significa que 1\\ \mathrm{m^3} de água tem massa 1000\\ \mathrm{kg}, então 150\\ \mathrm{m^3} correspondem a 150000\\ \mathrm{kg}.)

Passo 6

Agora subtraímos a massa do barco vazio para achar a carga máxima:
m_{\text{carga}} = 150000 - 8560 = 141440\\ \mathrm{kg}.
Convertendo para toneladas (1 t = 1000\\ \mathrm{kg}):
m_{\text{carga}} \approx 141{,}44\\ \mathrm{t}.

Passo 7

Observações finais rápidas (úteis para a prova): essa resposta assume água doce com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e que “afundar” significa submergir totalmente o casco de volume V. Se fosse água salgada (densidade maior) a capacidade aumentaria; se houver limite operacional menor (por exemplo margem de segurança/frouxo do barco), o valor útil pode ser menor.

Resposta

141440\\ \mathrm{kg} (aprox. 141{,}44\\ \mathrm{t})

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