Um ponto P descreve a trajetória plana
, sendo
(lei horária do movimento), em unidade do S.I. Determinar, para
.
(a) a posição;
(b) a velocidade;
(c) a aceleração;
(d) os módulos das componentes tangencial e normal da aceleração.
R: a)
; b)
; c)
; d)
ambas
(a) a posição;
(b) a velocidade;
(c) a aceleração;
(d) os módulos das componentes tangencial e normal da aceleração.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens indicados para
.
- Trajetória (equação cartesiana):
, com . - Lei horária:
(unidades do S.I.). - Perguntas:
(a) determinar a posiçãoem ;
(b) determinar a velocidadeem ;
(c) determinar a aceleraçãoem ;
(d) determinar os módulos das componentes tangenciale normal da aceleração em .
Passo 2
Encontrar
a partir da equação da curva e de
, sem resolver nada ainda numericamente.
A equação da curva é
. Substituindo
obtemos:
Tomando a raiz quadrada,
. Como a condição do enunciado é
e aqui
, temos
Logo a posição vetorial em função de
é
Avaliação em
:
Passo 3
Calcular a velocidade vetorial
componente a componente.
Derivando
:
Portanto
Avaliação em
:
Explicação curta sobre derivadas: derivar cada coordenada em função do tempo dá as componentes da velocidade; as derivadas usadas são regras básicas (potência:
e derivada de
é
).
Passo 4
Calcular a aceleração vetorial
.
Derivando
:
Logo
Em
:
Aqui usei a definição: aceleração é a derivada temporal da velocidade; derivada de
é
e derivada de constante
é
.
Passo 5
Calcular o componente tangencial da aceleração
. Conceito:
é a taxa de variação do módulo da velocidade (ou seja,
).
Primeiro o módulo da velocidade em função de
:
Derivando o módulo em relação a
:
Avaliação em
:
Comentário didático:
mede quanto a rapidez (velocidade escalar) aumenta ou diminui por segundo; calcula-se derivando o módulo da velocidade.
Passo 6
Calcular o componente normal
. Fórmula prática em 2D/3D:
Isso mede a parte da aceleração responsável por curvar a trajetória (direção normal à velocidade).
Em
temos
e
(colocando terceira componente zero para fazer o produto vetorial). O produto vetorial tem componente
igual a
portanto
. O módulo de
é
Assim
Verificação alternativa (ajuda didática): podemos também usar
. Aqui
,
então
, igual ao valor acima.
Interpretação: neste ponto a componente que altera a direção da velocidade (normal) tem módulo igual à componente que altera o módulo (tangencial); ambas valem
.
Passo 7
Resumo rápido e encorajamento: calculamos passo a passo posição, velocidade, aceleração e as componentes tangencial/normal. Se estiver cansado, respira fundo: é só aplicar derivadas coordenada a coordenada e usar as fórmulas para
e
. Você já consegue reproduzir esse raciocínio na prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)