Um ponto P descreve a trajetória plana y^{2}=8 x(y>0), sendo x=2 t^{2} (lei horária do movimento), em unidade do S.I. Determinar, para t=1 \mathrm{~s}.
(a) a posição;
(b) a velocidade;
(c) a aceleração;
(d) os módulos das componentes tangencial e normal da aceleração.
R: a) r=2 i+4 j; b) v=4 i+4 j; c) a=4 i; d) 2,83 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}( ambas )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens indicados para t=1\\ \mathrm{s}.
  • Trajetória (equação cartesiana): \;y^{2}=8x, com \;y>0.
  • Lei horária: \;x(t)=2t^{2} (unidades do S.I.).
  • Perguntas:
    (a) determinar a posição \mathbf{r} em t=1\\ \mathrm{s};
    (b) determinar a velocidade \mathbf{v} em t=1\\ \mathrm{s};
    (c) determinar a aceleração \mathbf{a} em t=1\\ \mathrm{s};
    (d) determinar os módulos das componentes tangencial a_{t} e normal a_{n} da aceleração em t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Encontrar y(t) a partir da equação da curva e de x(t), sem resolver nada ainda numericamente.
A equação da curva é \;y^{2}=8x. Substituindo x=x(t)=2t^{2} obtemos:
y^{2}(t)=8\cdot x(t)=8\cdot(2t^{2})=16t^{2}.
Tomando a raiz quadrada, \;y(t)=\sqrt{16t^{2}}=4|t|. Como a condição do enunciado é y>0 e aqui t=1>0, temos
y(t)=4t.
Logo a posição vetorial em função de t é
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}=2t^{2}\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}.
Avaliação em t=1:
\mathbf{r}(1)=2\cdot1^{2}\,\mathbf{i}+4\cdot1\,\mathbf{j}=2\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}.

Passo 3

Calcular a velocidade vetorial \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} componente a componente.
Derivando \mathbf{r}(t)=2t^{2}\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}:
\frac{dx}{dt}=4t,\qquad \frac{dy}{dt}=4.
Portanto
\mathbf{v}(t)=4t\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}.
Avaliação em t=1:
\mathbf{v}(1)=4\cdot1\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}=4\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}.
Explicação curta sobre derivadas: derivar cada coordenada em função do tempo dá as componentes da velocidade; as derivadas usadas são regras básicas (potência: \tfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1} e derivada de at é a).

Passo 4

Calcular a aceleração vetorial \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}.
Derivando \mathbf{v}(t)=4t\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=4,\qquad \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=0.
Logo
\mathbf{a}(t)=4\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}=4\,\mathbf{i}.
Em t=1:
\mathbf{a}(1)=4\,\mathbf{i}.
Aqui usei a definição: aceleração é a derivada temporal da velocidade; derivada de 4t é 4 e derivada de constante 4 é 0.

Passo 5

Calcular o componente tangencial da aceleração a_{t}. Conceito: a_{t} é a taxa de variação do módulo da velocidade (ou seja, a_{t}=\dfrac{d}{dt}|\mathbf{v}|).
Primeiro o módulo da velocidade em função de t:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{(4t)^{2}+4^{2}}=\sqrt{16t^{2}+16}=4\sqrt{t^{2}+1}.
Derivando o módulo em relação a t:
a_{t}=\frac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)|=\frac{d}{dt}\bigl(4\sqrt{t^{2}+1}\bigr) =4\cdot\frac{1}{2}(t^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2t =\frac{4t}{\sqrt{t^{2}+1}}.
Avaliação em t=1:
a_{t}(1)=\frac{4\cdot 1}{\sqrt{1^{2}+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\\ \text{m/s}^{2}\approx 2,83\\ \text{m/s}^{2}.
Comentário didático: a_{t} mede quanto a rapidez (velocidade escalar) aumenta ou diminui por segundo; calcula-se derivando o módulo da velocidade.

Passo 6

Calcular o componente normal a_{n}. Fórmula prática em 2D/3D:
a_{n}=\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|}.
Isso mede a parte da aceleração responsável por curvar a trajetória (direção normal à velocidade).
Em t=1 temos \mathbf{v}(1)=(4,4,0) e \mathbf{a}(1)=(4,0,0) (colocando terceira componente zero para fazer o produto vetorial). O produto vetorial tem componente z igual a
(\mathbf{v}\times\mathbf{a})_{z}=v_{x}a_{y}-v_{y}a_{x}=4\cdot 0 - 4\cdot 4=-16,
portanto |\mathbf{v}\times\mathbf{a}|=16. O módulo de \mathbf{v}(1) é
|\mathbf{v}(1)|=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}.
Assim
a_{n}=\frac{16}{4\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\\ \text{m/s}^{2}\approx 2,83\\ \text{m/s}^{2}.
Verificação alternativa (ajuda didática): podemos também usar |\mathbf{a}|^{2}=a_{t}^{2}+a_{n}^{2}. Aqui |\mathbf{a}|=4, a_{t}=2\sqrt{2} então a_{n}=\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{16-8}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, igual ao valor acima.
Interpretação: neste ponto a componente que altera a direção da velocidade (normal) tem módulo igual à componente que altera o módulo (tangencial); ambas valem 2\sqrt{2}.

Passo 7

Resumo rápido e encorajamento: calculamos passo a passo posição, velocidade, aceleração e as componentes tangencial/normal. Se estiver cansado, respira fundo: é só aplicar derivadas coordenada a coordenada e usar as fórmulas para a_{t} e a_{n}. Você já consegue reproduzir esse raciocínio na prova!

Resposta

(a) \mathbf{r}(1)=2\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}
(b) \mathbf{v}(1)=4\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}
(c) \mathbf{a}(1)=4\,\mathbf{i}
(d) a_{t}(1)=2\sqrt{2}\\ \text{m/s}^{2}\approx 2,83\\ \text{m/s}^{2}
a_{n}(1)=2\sqrt{2}\\ \text{m/s}^{2}\approx 2,83\\ \text{m/s}^{2}

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