93 Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas de várias funções que envolvem produtos, potências, quocientes, funções hiperbólicas e suas inversas. Para isso vamos usar as regras de derivação de produto, cadeia e quociente, bem como as derivadas
e as derivadas das inversas
Passo 2
Para
aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Para
usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Para
usamos produto e cadeia (com
):
Passo 5
Interpretando como , defina . Produto e cadeia ():
Passo 6
Para
aplicamos cadeia duas vezes (
):
Passo 7
Para
(
) temos
Passo 8
Para
(
):
Passo 9
Para
(
):
Passo 10
Para , use cadeia duas vezes (
, ):
Passo 11
Para
():
Passo 12
Para
seja
. Então
e
Passo 13
Para
use quociente e
:
Passo 14
Para (produto e ):
Passo 15
Para , (
):
Passo 16
Para , note que
e
.
Somando,
e
Somando,
Passo 17
Para , temos
,
e
.
Logo
,
e
Logo
Passo 18
Para , use
e
.
Obtemos, com ,
e
Obtemos, com
Passo 19
Para , use
e
.
Então
e
Então