(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede:
(a) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana;
(b) esboçar a curva e indicar a direção de traçado conforme aumenta.
(a) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana;
(b) esboçar a curva e indicar a direção de traçado conforme
Passo 2
Para eliminar
, expresse
e
em função de
e
. De
segue
De
segue
Agora use
:
Passo 3
Como
, temos
, logo
. Portanto, a curva cartesiana é o ramo direito da hipérbole.
Passo 4
Estude três valores-chave de
:
- Quando
, e , então . - Em
, , , logo . - Quando
, , , logo .
Assim, à medida quecresce, a curva vai do “infinito” no quadrante I, passa por e segue para o “infinito” no quadrante IV.
Passo 5
Concluímos que a curva é o ramo direito da hipérbole
traçado de cima para baixo (de quadrante I para quadrante IV) conforme
aumenta.
Resposta
(a)
(b) É o ramo direito da hipérbole . Começa em
, passa por
e vai para
, com seta apontando de cima para baixo.
(b) É o ramo direito da hipérbole