(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=cossec t, y=cotg t, 0<t<pi

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = csc t, y = cot t, 0 < t < pi,
e pede:
(a) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana;
(b) esboçar a curva e indicar a direção de traçado conforme t aumenta.

Passo 2

Para eliminar t, expresse sin t e cos t em função de x e y. De x=csc t segue
sin t = 1x
De y=cot t segue
cot t = cos tsin t implies cos t = y,sin t = yx
Agora use sin^2 t + cos^2 t = 1:
l(1xr)^2 + l(yxr)^2 = 1 Longrightarrow 1+y^2x^2 = 1 Longrightarrow x^2 = 1 + y^2

Passo 3

Como 0<t<pi, temos sin t>0, logo x=csc t>0. Portanto, a curva cartesiana é o ramo direito da hipérbole.

Passo 4

Estude três valores-chave de t:
  • Quando tto0^+, sin tto0^+ e cos tto1, então (x,y)to(+infty,+infty).
  • Em t=tfracpi2, sin t=1, cos t=0, logo (x,y)=(1,0).
  • Quando ttopi^-, sin tto0^+, cos tto-1, logo (x,y)to(+infty,-infty).
    Assim, à medida que t cresce, a curva vai do “infinito” no quadrante I, passa por (1,0) e segue para o “infinito” no quadrante IV.

Passo 5

Concluímos que a curva é o ramo direito da hipérbole
x^2 - y^2 = 1, x>0,
traçado de cima para baixo (de quadrante I para quadrante IV) conforme t aumenta.

Resposta

(a) x^2 - y^2 = 1,;x>0
(b) É o ramo direito da hipérbole x^2 - y^2=1. Começa em (+infty,+infty), passa por (1,0) e vai para (+infty,-infty), com seta apontando de cima para baixo.

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