Resolva as seguintes recorrências de 1^a ordem:
xn+1=7 xn, x1=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de primeira ordem
xn+1=7,xn, x1=3
Isso é uma recorrência linear homogênea com coeficiente constante. O conteúdo que precisamos é reconhecer que esse tipo de relação gera uma sequência geométrica.

Passo 2

Para resolver assumimos uma solução do tipo
xn=r^n,
Substituindo em xn+1=7,xn
r^n+1=7,r^n Longrightarrow r=7
Logo a solução geral é
xn=Ccdot7^n
para alguma constante C.

Passo 3

Como nossa recorrência começa em n=1, é mais cômodo escrever
xn=Acdot7^,n-1
Para determinar A usamos a condição inicial x1=3:
3 = x1 = Acdot7^0 = A,
portanto A=3.

Passo 4

Substituindo A=3 na forma geral, obtemos
xn = 3cdot7^,n-1
Podemos checar: para n=1 temos x1=3cdot7^0=3 e
xn+1=3cdot7^n=7,(3cdot7^,n-1)=7,xn,
como desejado.

Resposta

xn = 3cdot7^,n-1

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