Resolva as seguintes recorrências de 1^a ordem:
xn+1=xn+3^n, x1=1.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência de primeira ordem não homogênea
xn+1 = xn + 3^n,
com condição inicial x1=1. Vamos resolver usando o método de soma telescópica, que consiste em somar as diferenças xk+1-xk de k=1 até k=n.

Passo 2

Note que para todo k>=1
xk+1 - xk = 3^k
Somando essa igualdade de k=1 até k=n obtemos
sumk=1^n l(xk+1-xkr) = sumk=1^n 3^k
O lado esquerdo é telescópico:
sumk=1^n l(xk+1-xkr) = xn+1 - x1

Passo 3

O lado direito é uma soma de progressão geométrica de razão 3:
sumk=1^n 3^k = 3^,n+1-33-1 = 3^,n+1-32
Portanto da soma telescópica resulta
xn+1 - x1 = 3^,n+1-32

Passo 4

Como x1=1, temos
xn+1 = 1 + 3^,n+1-32 = 2 + 3^,n+1-32 = 3^,n+1-12
Para reindexar em n, basta trocar n por n-1, dando
xn = 3^,n-12

Resposta

xn = 3^,n - 12

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