Q 94 Mostre que a reta normal à curva y=arcsen(x)-ln (x+1), no ponto x0=0, faz com o eixo x um ângulo de 90^circ.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta normal à curva
y = arcsin(x) - ln(x+1)
no ponto x0=0 faz com o eixo x um ângulo de 90^circ.
Conteúdo: derivada e reta normal. Vamos calcular a derivada, achar a inclinação da tangente em x=0 e daí obter a normal.

Passo 2

Calculemos a derivada y'= ddxl[arcsin(x)r] - ddxl[ln(x+1)r]. Sabemos que
ddxl[arcsin(x)r] = 1raiz1-x^2,
ddxl[ln(x+1)r] = 1x+1
Logo,
y' = 1raiz1 - x^2 ;-;1x+1

Passo 3

Avalie y' em x=0:
y'(0) = 1raiz1-0^2 - 10+1 = 1 - 1 = 0
Portanto, a reta tangente à curva em x=0 é horizontal (inclinação zero).

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente. Se a tangente tem coeficiente angular mt=0, então o coeficiente angular da normal
mn = -1mt
é indefinido (isto é, a normal é vertical).

Passo 5

Uma reta vertical forma com o eixo x um ângulo de
phi = arctan(+infty) = 90^circ

Resposta

A reta normal à curva em x0=0 é vertical e faz 90^circ com o eixo x.

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